Teorema di Talete – Enunciato

Il filosofo e matematico greco Talete visse tra il vii e il vi secolo a.C. La leggenda racconta che in Egitto abbia misurato l’altezza della piramide di Cheope utilizzando il teorema che oggi porta il suo nome. In realtà, la proprietà enunciata nel teorema di Talete era già nota ai babilonesi, molto tempo prima di Talete, e sarà dimostrata solo da Euclide, negli Elementi, nel III secolo a.C.

Siano d e d’ due rette che si incontrano in un punto A. Supponiamo che B e M siano due punti di d distinti da A e che C e N siano due punti di d’ distinti da A.

Se le rette (BC) e (MN) sono parallele, allora valgono le uguaglianze .

Questo teorema può essere applicato in due casi, chiamati situazioni di Talete.

Il punto M è sul segmento [AB] e il punto N è sul segmento [AC].

Il punto A è sul segmento [MB] e il punto A è sul segmento [NC].

Ecco un modo pratico per ricordarsi il teorema di Talete

In ognuna delle due situazioni ci sono i due triangoli AMN e ABC, i cui lati sono a due a due paralleli.

Si può notare che, nelle uguaglianze , i lati di un triangolo (qui AMN) figurano tutti al numeratore, mentre i lati paralleli corrispondenti dell’altro triangolo (qui ABC) figurano tutti al denominatore.

Le uguaglianze di questi tre rapporti indicano che uno dei triangoli è l’ingrandimento dell’altro (al di fuori della possibilità, nella seconda situazione, che questi rapporti siano uguali a 1; in questo caso i due triangoli hanno le stesse dimensioni).

Enunciato: Siano A e B due punti distinti. Vogliamo trovare due punti I e J della retta (AB) tali che , senza utilizzare la scala di un righello.

Risoluzione: Tracciamo due rette parallele d e d’ che incontrano la retta (AB), rispettivamente in A e in B. Scegliamo un’apertura del compasso che terremo come unità di misura in tutto il procedimento seguente.

Posizioniamo su d un punto E tale che EA = 4, poi posizioniamo il punto F di d’ situato dallo stesso lato della retta (AB) di E tale che FB = 7. La retta (EF) incontra la retta (AB) in un punto I;

Dimostriamo che il punto I verifica l’uguaglianza richiesta: . Poiché le rette (EA) e (FB) sono parallele per costruzione, possiamo applicare il teorema di Talete.

Abbiamo che . Sostituendo EA con 4 e FB con 7 nell’uguaglianza , otteniamo:  .

Posizioniamo ora il punto G, diverso da E, sulla retta d tale che AG = 4; la retta (FG) incontra la retta (AB) in un punto J;

Dimostriamo che il punto J verifica l’uguaglianza richiesta: .
Poiché le rette (GA) e (FB) sono parallele per costruzione, possiamo applicare il teorema di Talete.