La nozione di continuità permette di enunciare correttamente il teorema dei valori intermedi. Quest’ultimo serve a determinare il numero di soluzioni di un’equazione del tipo f(x) = k, dove k ∈ R e dove f è una funzione continua; serve a dare un valore approssimato o una cornice di riferimento, il che è interessante soprattutto quando non si hanno soluzioni algebriche dell’equazione. Continuità […]

Ogni volta che una grandezza y dipende da una grandezza x, si dice che la prima è funzione della seconda. Per esempio, lo spazio percorso da un’automobile che viaggia a una certa velocità è funzione del tempo: conoscendo da quanto tempo viaggia l’automobile, possiamo calcolare la distanza percorsa. In questa scheda daremo precisamente la nozione di funzione, spiegheremo […]

Date due funzioni f e g, la composizione delle due si dice funzione composta e si indica con f o g. Applicare a un numero tale funzione composta significa applicare in successione la funzione g e poi la funzione f. Ricordiamo qui le proprietà essenziali riguardanti l’andamento e i limiti di una funzione composta e analizziamo in particolare il caso delle funzioni logaritmiche ed […]

Il logaritmo naturale (o neperiano) deve la sua esistenza al matematico scozzese Nepero (John Napier, 1550-1617), che cercò di semplificare i calcoli trigonometrici degli astronomi “trasformando i prodotti in somme”. Oggi la funzione logaritmica non solo è utile per semplificare i calcoli, ma ha un ruolo importante in numerosi problemi di analisi. Il suo studio […]

Per determinare la funzione derivata di una funzione su un intervallo dato, in teoria possiamo utilizzare la definizione di derivata in un punto a. Si calcola allora il limite del rapporto incrementale di questa funzione in x e a, per x che tende ad a. Questo calcolo “fatto a mano”, tuttavia, in genere è troppo lungo e laborioso. Nella pratica, per calcolare […]