Data una funzione, possiamo valutare il suo insieme di definizione e determinarne l’andamento. Possiamo poi costruire una tabella dei valori per giungere, infine, alla rappresentazione grafica della funzione.
Allo stesso modo, si può partire dalla rappresentazione grafica di una funzione per trovare il suo insieme di definizione e dedurre la tabella degli andamenti. La rappresentazione grafica di una funzione è molto utile anche in altri casi, ad esempio per risolvere equazioni e disequazioni.
Indice
Leggere l’insieme di definizione dalla rappresentazione grafica di una funzione
Per stabilire qual è l’insieme di definizione di una funzione a partire dalla sua rappresentazione grafica, si leggono sull’asse orizzontale le ascisse dei punti appartenenti alla curva. L’insieme di definizione è l’insieme di tutte queste ascisse. Si può scrivere sotto forma di un intervallo o di un’unione di intervalli.
Esempio: La rappresentazione grafica in figura 1 è formata da punti che hanno ascissa compresa fra -3 e 5, e il numero 1 è escluso. Questa curva rappresenta una funzione definita su un’unione di intervalli: [-3; 1[ È ]1; 5].
Stabilire la tabella degli andamenti di una funzione a partire dalla sua rappresentazione grafica
Una funzione è crescente su un intervallo I se, percorrendo la curva da sinistra a destra, i valori delle immagini (ovvero le ordinate dei punti) via via crescono.
Una funzione è decrescente su un intervallo I se, percorrendo la curva da sinistra a destra, i valori delle immagini (ovvero le ordinate dei punti) diminuiscono.
Una funzione è costante su un intervallo I quando la sua rappresentazione grafica è un segmento orizzontale.
Una funzione è decrescente su un intervallo I se, percorrendo la curva da sinistra a destra, i valori delle immagini (ovvero le ordinate dei punti) diminuiscono.
Una funzione è costante su un intervallo I quando la sua rappresentazione grafica è un segmento orizzontale.
Esempio
La linea spezzata mostrata in figura 2 rappresenta la funzione f:
decrescente sull’intervallo [-3; 2]; costante sull’intervallo [2; 3]; crescente sull’intervallo [3; 6].
La funzione ha il suo minimo 1 sull’intervallo [2; 3].
Possiamo riassumere queste informazioni in una tabella degli andamenti:
decrescente sull’intervallo [-3; 2]; costante sull’intervallo [2; 3]; crescente sull’intervallo [3; 6].
La funzione ha il suo minimo 1 sull’intervallo [2; 3].
Possiamo riassumere queste informazioni in una tabella degli andamenti:
Metodo grafico di risoluzione di un’equazione
La soluzione dell’equazione f(x) = k si può trovare per via grafica cercando le ascisse dei punti di intersezione della curva che rappresenta la funzione f con la retta orizzontale di equazione y = k.
Nel caso particolare dell’equazione f(x) = 0, le soluzioni sono le ascisse dei punti d’intersezione della curva con l’asse delle ascisse.
Esempio
La curva (C) in figura 3 rappresenta una funzione f.
L’insieme delle soluzioni dell’equazione f(x) = 4 è: S = {-2; 3}.
L’insieme delle soluzioni dell’equazione f(x) = 0 è: S = {-1; 2}.
L’insieme delle soluzioni dell’equazione f(x) = 4 è: S = {-2; 3}.
L’insieme delle soluzioni dell’equazione f(x) = 0 è: S = {-1; 2}.
Le soluzioni dell’equazione f(x) = g(x) sono le ascisse dei punti di intersezione della curva rappresentativa di f con la curva rappresentativa di g.
Esempio
La curva (C) in figura 4 rappresenta una funzione f e la retta (D) una funzione g. L’insieme delle soluzioni dell’equazione f(x) = g(x) è: S = {0; 3}.
La curva (C) in figura 4 rappresenta una funzione f e la retta (D) una funzione g. L’insieme delle soluzioni dell’equazione f(x) = g(x) è: S = {0; 3}.
Metodo grafico di risoluzione di una disequazione
Le soluzioni della disequazione f(x) < k sono le ascisse dei punti della curva di f situati sotto la retta di equazione y = k.
Nel caso particolare dell’equazione f(x) < 0, le soluzioni sono le ascisse dei punti della curva situati sotto l’asse delle ascisse.
Nel caso particolare dell’equazione f(x) < 0, le soluzioni sono le ascisse dei punti della curva situati sotto l’asse delle ascisse.
Esempio
La curva (C) in figura 5 rappresenta una funzione f.
L’insieme delle soluzioni della disequazione f(x) > -2 è: S = ]-1; 2[ .
L’insieme delle soluzioni della disequazione f(x) < 0 è: S = ]-∞; 0[ È ]1; +∞[ .
L’insieme delle soluzioni della disequazione f(x) > -2 è: S = ]-1; 2[ .
L’insieme delle soluzioni della disequazione f(x) < 0 è: S = ]-∞; 0[ È ]1; +∞[ .
Più in generale, le soluzioni della disequazione f(x) < g(x) sono le ascisse dei punti della curva rappresentativa f, situate sotto la curva che rappresenta g.
Da ricordare
Per determinare l’insieme di definizione di una funzione, si leggono le ascisse dei punti nella rappresentazione grafica. Si possono scrivere sotto forma di intervallo o di unione di più intervalli.
Per determinare l’insieme di definizione di una funzione, si leggono le ascisse dei punti nella rappresentazione grafica. Si possono scrivere sotto forma di intervallo o di unione di più intervalli.
Per conoscere l’andamento di una funzione su un intervallo, si percorre la curva da sinistra verso destra e si osserva se le ordinate dei punti aumentano o diminuiscono.
Per determinare le soluzioni di un’equazione nella forma f(x) = k, leggiamo le ascisse dei punti di intersezione della curva con la retta orizzontale di equazione y = k. Nel caso di una disequazione f(x) < k, leggiamo le ascisse dei punti della curva situate sotto la retta di equazione y = k.