Per determinare la funzione derivata di una funzione su un intervallo dato, in teoria possiamo utilizzare la definizione di derivata in un punto a. Si calcola allora il limite del rapporto incrementale di questa funzione in x e a, per x che tende ad a.
Questo calcolo “fatto a mano”, tuttavia, in genere è troppo lungo e laborioso. Nella pratica, per calcolare una funzione derivata si evita di applicare la definizione e si utilizzano invece alcune semplici regole di calcolo.
Indice
Funzioni derivate di alcune funzioni semplici
La funzione lineare f : x → ax + b, dove a e b sono due numeri reali, è derivabile su R e la sua funzione derivata è f’ : x → a.
La funzione potenza n-esima g : x → xn, dove n
Z, è derivabile sugli intervalli sui quali è definita (R se n ≥ 0 e ]-∞ 0[ È ]0; +∞ se n < 0) e la sua funzione derivata è g’ : x → nxn-1.
Z, è derivabile sugli intervalli sui quali è definita (R se n ≥ 0 e ]-∞ 0[ È ]0; +∞ se n < 0) e la sua funzione derivata è g’ : x → nxn-1.
La funzione radice quadrata 
è derivabile su ]0; +∞[ e la sua funzione derivata è 
.
è derivabile su ]0; +∞[ e la sua funzione derivata è .
La funzione coseno i : x → cos x è derivabile su R e la sua funzione derivata è i‘ : x → -sen x.
La funzione seno j : x → sen x è derivabile su R e la sua funzione derivata è j‘ : x → cos x.
I due primi risultati permettono di ottenere i seguenti casi particolari
-La funzione costante k : x → λ dove λ è un numero reale fissato, è derivabile su R e la sua funzione derivata è k‘ : x → 0;
-La funzione quadratica l : x → x2 è derivabile su R e la sua funzione derivata è l’ : x → 2x;
-La funzione inversa
è derivabile su R -{0} e la sua funzione derivata è 
.
-La funzione costante k : x → λ dove λ è un numero reale fissato, è derivabile su R e la sua funzione derivata è k‘ : x → 0;
-La funzione quadratica l : x → x2 è derivabile su R e la sua funzione derivata è l’ : x → 2x;
-La funzione inversa
è derivabile su R -{0} e la sua funzione derivata è .
Calcolare la derivata di una funzione somma o prodotto
Siano u e v due funzioni derivabili su un intervallo I aperto di R. Valgono allora le seguenti proprietà:
–u + v è derivabile su I e (u + v)’ = u‘ + v‘.
–u × v è derivabile su I e (u × v)’ = u‘v + uv‘.
–un, con n N , è derivabile su I e, se u non si annulla su I, un, con n Z / N , è derivabile su I.
In entrambi i casi, la funzione derivata è: (un)’ = nun-1 × u‘.
–u + v è derivabile su I e (u + v)’ = u‘ + v‘.
–u × v è derivabile su I e (u × v)’ = u‘v + uv‘.
–un, con n
N , è derivabile su I e, se u non si annulla su I, un, con n Z / N , è derivabile su I.In entrambi i casi, la funzione derivata è: (un)’ = nun-1 × u‘.
Da queste proprietà, deduciamo le seguenti regole
-se v non si annulla su I,
è derivabile su I e 
;
-se k è un reale fissato, ku è derivabile su I e (ku)’ = ku‘.
-se v non si annulla su I,
è derivabile su I e ;-se k è un reale fissato, ku è derivabile su I e (ku)’ = ku‘.
Calcolare la funzione derivata della funzione composta g(ax + b)
Sia f la funzione lineare x → ax + b , dove a e b sono due numeri reali, e g una funzione derivabile su un intervallo aperto I.
Sia J un intervallo aperto tale che, per ogni x J, f (x) I.
Allora la funzione h = g o fdefinita su J come h : x → g (ax + b) è derivabile su J e, per ogni x J, h‘ (x) = ag‘ (ax + b).
Sia J un intervallo aperto tale che, per ogni x
J, f (x) I.Allora la funzione h = g o fdefinita su J come h : x → g (ax + b) è derivabile su J e, per ogni x
J, h‘ (x) = ag‘ (ax + b).
Ad esempio, la funzione g(x) = (3x + 1)2, è la funzione composta che prende il valore di f(x) = 3x + 1 e lo eleva al quadrato.
La sua derivata, quindi, è il prodotto della derivata di f per la derivata di g in f: g’(x) = 3 x 2(3x + 1) = 6(3x +1).
La sua derivata, quindi, è il prodotto della derivata di f per la derivata di g in f: g’(x) = 3 x 2(3x + 1) = 6(3x +1).
Funzione derivata f‘ e andamento della funzione f
Un teorema ci dice:
Sia f una funzione derivabile su un intervallo I aperto di R. Scriviamo f’ la sua derivata su I:
-se f’ = 0 su I, allora f è costante su I;
-se f’ > 0 su I, salvo eventualmente un numero finito di punti isolati in cui f’ = 0, allora f è strettamente crescente su I;
– se f’ < 0 su I, salvo eventualmente un numero finito di punti isolati in cui f’ = 0, allora f è strettamente decrescente su I.
Sia f una funzione derivabile su un intervallo I aperto di R. Scriviamo f’ la sua derivata su I:
-se f’ = 0 su I, allora f è costante su I;
-se f’ > 0 su I, salvo eventualmente un numero finito di punti isolati in cui f’ = 0, allora f è strettamente crescente su I;
– se f’ < 0 su I, salvo eventualmente un numero finito di punti isolati in cui f’ = 0, allora f è strettamente decrescente su I.
Determinare gli eventuali estremi locali di una funzione derivabile
Sia f una funzione derivabile su un intervallo ]a; b[ di R e x0 un valore reale di questo intervallo.
Se f’ si annulla in x0 e cambia di segno, allora f ammette un estremo (massimo o minimo) locale in x0.
Se f’ si annulla in x0 e cambia di segno, allora f ammette un estremo (massimo o minimo) locale in x0.
Note:
-La tabella degli andamenti di f permette di visualizzare rapidamente questi estremi locali e, ugualmente, di determinare se sono estremi assoluti.
-La ricerca di estremi locali è utile per risolvere i problemi di ottimizzazione in fisica, in economia ecc.
-La tabella degli andamenti di f permette di visualizzare rapidamente questi estremi locali e, ugualmente, di determinare se sono estremi assoluti.
-La ricerca di estremi locali è utile per risolvere i problemi di ottimizzazione in fisica, in economia ecc.
Da ricordare:
Risulta essere necessario ricordare le seguenti regole di derivazione:
(u + v)’ = u‘ + v‘
Risulta essere necessario ricordare le seguenti regole di derivazione:
(u + v)’ = u‘ + v‘
(u × v)’ = u‘v + uv‘
Z (un)’ = nu‘un-1 se n Î Z o se n = y
(f (ax + b))’ = af‘ (ax + b)