Funzioni Matematiche – Introduzione e Definizione

Ogni volta che una grandezza y dipende da una grandezza x, si dice che la prima è funzione della seconda. Per esempio, lo spazio percorso da un’automobile che viaggia a una certa velocità è funzione del tempo: conoscendo da quanto tempo viaggia l’automobile, possiamo calcolare la distanza percorsa.

In questa scheda daremo precisamente la nozione di funzione, spiegheremo l’insieme di definizione di una funzione (perché se la variabile appare al denominatore o sotto una radice, certi valori reali non sono ammessi) e introdurremo lo studio dell’andamento (la maggior parte delle funzioni non sono monotone, il loro andamento può cambiare più volte all’interno dell’insieme di definizione).

Una funzione numerica è una relazione che, per ogni valore di una variabile x, appartenente a un sottoinsieme D dell’insieme dei numeri reali, associa uno e un solo valore di y, detto immagine di x.
Se chiamiamo f questa funzione, possiamo scrivere: y = f(x).

Esempio:
Se un’automobile consuma 10 litri di benzina ogni 100 km e dispone di un serbatoio di 50 litri, il numero y di litri restanti nella riserva è una funzione del numero x di chilometri percorsi, secondo la formula: y = 50 – 0,1x.
Chiamando f la funzione che a x associa y, abbiamo: f(x) = 50 – 0,1x.
Poiché l’automobilista non potrà percorrere più di 500 chilometri, diremo che l’insieme di definizione è l’intervallo [0; 500], che si scriverà D_f = [0; 500].

Una funzione può non essere definita per tutti i valori di x. In altre parole, esistono dei valori di x per i quali alcune funzioni perdono di senso. In particolare, una funzione non è definita per i valori che
-annullano il denominatore (se esiste)
-rendono negativa un’espressione scritta sotto radice di indice pari (se presente).

Nota: Per funzioni particolari, come la funzione logaritmica e alcune funzioni trigonometriche, esistono altre restrizioni.

La funzione inversa ( ) è definita per tutti i numeri reali non nulli, cioè per tutti i valori di x tranne lo 0. Il suo insieme di definizione è dunque: D = ]-∞; 0[ È ]0; +∞[.
La funzione radice quadrata  è definita per tutti i valori reali positivi o nulli, ma non per i numeri negativi: D = [0; +∞[.

Per calcolare l’immagine di un numero, si sostituisce la variabile con quel numero e si effettuano i calcoli rispettando le priorità delle operazioni.
Ad esempio, per calcolare l’immagine di 5 per la funzione f definita su R f(x) = 4(x – 3)² – 1, si effettuano i calcoli e si ottiene:
f(5) = 4(5 – 3)² – 1 = 4 × 2² – 1 = 4 × 4 – 1 = 16 – 1 = 15.

Se prendiamo y = f(x), chiamiamo y immagine di x e quindi, al contrario, chiameremo x controimmagine di y. Calcolare la controimmagine tramite la funzione f di un numero reale a significa risolvere l’equazione f(x) = a.

Quindi, ad esempio, cercare la controimmagine di 3 per la funzione lineare f, definita su R come f(x) = 2x – 1, vuol dire calcolare il valore di x tale che 2x – 1 = 3. In questo caso, x = 2.

Nota: Per alcune funzioni, un numero reale può avere più controimmagini, o può anche non averne.
Ad esempio, ciò vale per la funzione quadratica definita in R (x → x²): il valore 4 ha per controimmagini 2 e -2; il valore –4, invece, non ne ha. Infatti, x² = +/-2; x² = -4 è un’equazione impossibile.

L’andamento di una funzione è il suo comportamento al variare di x. Se, quando i valori di x aumentano, la loro immagine aumenta, si dice che la funzione è crescente; al contrario, se all’aumentare di x la loro immagine diminuisce, la funzione è decrescente. Vediamo come questo concetto si può esprimere in termini più rigorosi.

Consideriamo una funzione f e un intervallo I incluso nell’insieme di definizione di f.
Se per ogni coppia di numeri a e b dell’intervallo I tali che a < b, si ha che f(a) < f(b), allora si dice che f è crescente su I (si dice che f conserva le disuguaglianze).
Se per ogni coppia di numeri a e b dell’intervallo I tali che a < b, si ha che f(a) > f(b), allora f è decrescente su I (f inverte l’ordine).

Esempio:
Prendiamo la funzione lineare f, definita su [-1; 5] nel seguente modo: f(x) = -2x + 3.
Vediamo che relazione c’è tra f(a) e f(b), se a e b sono due numeri reali tali che -1 < a < b < 5:
(moltiplicando per –2): 2 > -2a > -2b > -10;
(aggiungendo +3): 5 > -2a + 3 > -2b + 3 > -7;
quindi 5 > f(a) > f(b) > -7.
Poiché l’ordine si è ribaltato, f è decrescente sull’intervallo [-1; 5].
Possiamo riassumere queste informazioni in una tabella delle variazioni:

Nel caso specifico delle funzioni lineari, si può affermare in generale che la funzione (come f(x) = -2x + 3) è decrescente se il coefficiente angolare (in questo caso, -2) è negativo. Se invece è positivo, la funzione lineare è crescente.

Vediamo meglio come siamo giunti a questo risultato attraverso il concetto di operatore. Un operatore è una funzione che coinvolge una sola operazione. Per capire il comportamento di una funzione, la si può scomporre in una catena di operatori, applicati in successione.

Esempio:
Prendiamo la funzione f, definita su [1; +∞[ per f(x) = -2x² + 3. Scomponiamola in operatori.Per 1 < a < b, abbiamo: 1 < a² < b², poi -2 > -2a² > -2b², e 1 > -2a² + 3 > -2b² + 3.
Dunque f(a) > f(b). L’ordine risulta invertito, quindi la funzione è decrescente sull’intervallo [1; +∞[.

Se si conosce il concetto di derivata, l’andamento di una funzione si stabilisce più facilmente studiando il segno della sua derivata prima. Così, la funzione è crescente quando la derivata prima è positiva, è decrescente quando la derivata prima è negativa. Nei punti in cui la derivata prima è nulla, si hanno dei punti di massimo o di minimo per la funzione.

Quando si studia il comportamento di una funzione nel suo insieme di definizione, è utile sapere quando una funzione è positiva e quando è negativa. In termini grafici, ciò equivale a dire: quando il grafico di una funzione sta al di sopra dell’asse delle x, e quando sta al di sotto.

Per sapere in quali parti dell’insieme di definizione una funzione f è positiva, dobbiamo risolvere la disequazione f(x) ≥ 0. La funzione è positiva per i valori di x che verificano la disuguaglianza, e negativa altrove.

Attenzione! Una funzione può essere positiva e decrescente (come, ad esempio, la funzione: x → -2x + 20, definita su [5; 10]) o negativa e crescente (come la funzione: x → 2x + 1, definita su [-10; -5]).

Da ricordare
Dobbiamo escludere dall’insieme di definizione i valori della variabile che annullano il denominatore e limitarlo a quelli grazie ai quali i numeri sotto le radici sono positivi (per funzioni particolari, esistono in realtà altre restrizioni).

Una funzione è crescente su un intervallo quando le immagini delle coppie di numeri a e b di questo intervallo sono nello stesso ordine dei numeri stessi. Se l’ordine si inverte, la funzione è decrescente.

Non bisogna confondere l’andamento con il segno. Una funzione può essere positiva e decrescente, così come può essere negativa e crescente.