Grafico di una Funzione di Primo Grado

Tutte le funzioni lineari (o funzioni di primo grado) corrispondono a una relazione di proporzionalità. Come si rappresenta graficamente una funzione lineare, ovvero come si disegna un grafico di proporzionalità?

Rappresentiamo graficamente la funzione lineare x → 2x.
Per farlo, scegliamo un sistema di riferimento (x, O, y) nel piano. Per rappresentare la funzione, si mette il valore di x come ascissa e l’immagine corrispondente come ordinata; per ogni valore di x, si ottiene un punto sul piano di coordinate (x, f(x)).
Quindi, se x = 1, abbiamo: 1 → 2, che fornisce il punto di coordinate (1, 2).
Scegliamo arbitrariamente alcuni valori di x di cui calcolare l’immagine.

Per semplificare la rappresentazione, è comodo utilizzare una tabella come questa:

Posizionando questi punti, otteniamo il grafico di figura 1.

Notiamo che i punti A, B, C e D sono tutti allineati su una retta passante per l’origine del sistema di riferimento.
Possiamo affermare che tutti gli altri punti che possono essere disposti saranno situati anch’essi su questa retta: diciamo quindi che questa retta è la rappresentazione grafica della funzione lineare x → 2x.

La rappresentazione grafica di una funzione lineare è una retta passante per l’origine del sistema di riferimento.
Diciamo che la rappresentazione grafica della funzione lineare x → ax è la retta di equazione y = ax.
Il coefficiente a della funzione lineare è chiamato coefficiente angolare della retta.

Esempio: La rappresentazione grafica della funzione lineare x → 3x è la retta di equazione y = 3x. Per tracciare tale retta, segniamo sul piano cartesiano alcuni punti di coordinate (x; y) dando dei valori arbitrari a x e calcolando i corrispondenti valori di y.

Nota: Se la rappresentazione grafica di una funzione lineare passa sempre per l’origine degli assi, è perché l’immagine di 0 per tutte le funzioni lineari è 0. Il punto corrispondente è dunque il punto di coordinate (0; 0), vale a dire l’origine degli assi.

Sappiamo che tutte le funzioni lineari sono rappresentate graficamente da una retta passante per l’origine: sappiamo anche che per due punti passa una e una sola retta, ovvero che bastano due soli punti per tracciare una retta data.
Per disegnare il grafico di una funzione lineare del tipo y = ax, quindi, basta determinare un solo punto della retta diverso dall’origine.

Primo esempio: Vogliamo rappresentare graficamente la funzione lineare
x → -3x.

Determiniamo un punto scegliendo un valore di x. Ad esempio, con x = 1, otteniamo 1 → – 3, che ci fornisce il punto A (1; –3).

La rappresentazione grafica è dunque la retta che passa per A e per l’origine degli assi, come in figura 2.

Secondo esempio: Vogliamo rappresentare graficamente la funzione lineare ; vogliamo poi determinare sul grafico le immagini dei numeri –4 e 6.

Per tracciare la retta, scegliamo x = 4. Otteniamo , ovvero 4 → 2, che ci fornisce il punto B (4; 2).

Per determinare graficamente l’immagine di –4, è sufficiente determinare il punto della retta la cui ascissa è –4 e leggere la sua ordinata. Si ottiene -4 → -2.

Allo stesso modo, leggendo sul grafico, otteniamo 6 → 3.

Rappresentiamo graficamente sullo stesso piano le quattro funzioni lineari seguenti:

x → -4x ;  ; x → 0,2x ; x → 3x.

Chiamiamo D₁ la retta che rappresenta la funzione x → -4x; per x = 1, si ottiene 1 → -4, che ci dà il punto
A (1; –4) di D₁.

Chiamiamo D₂ la retta che rappresenta la funzione ; per x = –4, si ottiene -4 → -2, che ci dà il punto
B (–4; 2) di D₂.

Chiamiamo D₃ la retta che rappresenta la funzione x → 0,2x; per x = 5, si ottiene 5 → 1, che ci dà il punto
C (5; 1) di D₃.

Chiamiamo D₄ la retta che rappresenta la funzione x → 3x; per x = 2, si ottiene 2 → 6, che ci dà il punto
D (2; 6) di D₄.

Osserviamo il grafico ottenuto:

I coefficienti angolari delle quattro rette sono: –4 per la retta D₁; 0,2 per la retta D₃; 3 per la retta D₄.

Osservando il grafico, si nota che
D₁ e D₂, che hanno un coefficiente angolare negativo, sono rette che “scendono” per valori di x crescenti;
D₃ e D₄, che hanno un coefficiente angolare positivo, sono rette che “crescono” per valori di x crescenti;
D₁ è più inclinata rispetto a D₂: il coefficiente angolare di D₁ (–4) è inferiore a quello di D₂ ;
analogamente, D₄ è più inclinata rispetto a D₃: il coefficiente angolare di D₄ (3) è superiore a quello di D₂ (0,2).

Conclusione: Il coefficiente angolare permette di distinguere le rette “crescenti” dalle rette “decrescenti” per valori di x crescenti e permette di comparare l’“inclinazione” delle diverse rette.