Come Riconoscere una Funzione di Primo Grado

La nozione di funzione è molto importante sia in matematica sia in altre discipline. Questa parola compare spesso in espressioni del tipo: “calcolare il perimetro di un quadrato in funzione della lunghezza del suo lato”, oppure “lo spazio di frenata di un’auto varia in funzione del quadrato della velocità”.

Le funzioni di primo grado o funzioni lineari sono funzioni particolari che si incontrano in diverse situazioni. Si chiamano lineari perché sono rappresentate da linee rette nel piano. Come sono fatte?

Nel suo negozio, un panettiere si è costruito una tabella che riporta il prezzo da pagare in funzione del numero di pagnotte che il cliente acquista. Qui di seguito, riportiamo una parte della tabella:

La tabella fornisce la corrispondenza tra il numero delle pagnotte e il prezzo da pagare. Diciamo quindi che il prezzo da pagare “è funzione del numero di pagnotte acquistate”.

Quindi, per due pagnotte e mezzo, il prezzo da pagare è uguale a 1,60 €. Questa corrispondenza si può rappresentare nel modo seguente:
2,5 → 1,6.

È facile vedere che, essendo il prezzo di una pagnotta uguale a 0,64 €, è sufficiente moltiplicare il numero di pagnotte comprate per 0,64 per ottenere il prezzo da pagare.
Chiamando x il numero delle pagnotte acquistate, il prezzo da pagare sarà uguale a 0,64x.
Con la notazione introdotta, possiamo scrivere: x → 0,64.

Quest’ultima scrittura definisce completamente la funzione rappresentata dalla tabella. Infatti, si può verificare che, sostituendo x con un numero qualsiasi della prima riga della tabella, si ottiene il numero corrispondente nella seconda riga.
Quindi, per x = 3, otteniamo 3 → 0,64 × 3, ovvero 3 → 1,92.

Questa scrittura permette anche di calcolare il prezzo per un numero di pagnotte che non compare nella tabella. Ad esempio, per x = 7, otteniamo 7 → 0,64 ×  7, ovvero 7 → 4,48. In altre parole, 7 pagnotte costano 4,48 €.

Questo tipo di funzione è chiamata funzione lineare o funzione di primo grado. Corrisponde a una relazione di proporzionalità: e infatti la tabella è una tabella di proporzionalità, in cui si passa dalla prima riga alla seconda moltiplicando sempre per lo stesso numero, che è 0,64. Questo numero è il coefficiente di proporzionalità della tabella, che chiameremo coefficiente della funzione lineare x → 0,64.

Sia a un numero fissato; la funzione che a un numero x fa corrispondere il numero ax è chiamata funzione lineare di coefficiente a; questa funzione si scrive come x → ax.

Nella notazione x → ax, il numero ax è chiamato immagine di x attraverso la funzione lineare.

Come esempio, la funzione x → 12x è una funzione lineare il cui coefficiente è 12.

Nota: L’immagine di 0 per tutte le funzioni lineari è 0. Infatti, sia x → ax una funzione lineare. Se x = 0, allora 0 → ax0. In altre parole, 0 → 0, qualsiasi sia il valore di a.

Un caso particolare: Se a = 0, la funzione lineare di coefficiente 0 è una funzione costante chiamata funzione nulla. Si rappresenta con il simbolo: x → 0. L’immagine di tutti i numeri x attraverso tale funzione è 0.

Altre notazioni: Se chiamiamo f una funzione, possiamo scrivere f(x) (che si legge “f di x”) l’immagine di x attraverso la funzione f.

Ad esempio, se f è la funzione lineare x → 4x, allora f(x) = 4x. Invece di scrivere 1 → 4, possiamo scrivere f(1) = 4 per esprimere il fatto che 4 è l’immagine di 1 attraverso f.

Primo problema:
Determinare le immagini di 14, –6 per la funzione lineare x → -3,5.

Per x = 14, si ha: 14 → -3,5 × 14, ovvero 14 → -49. L’immagine di 14 è –49.

Per x = –6, abbiamo: -6 → -3,5 × (-6), ovvero -6 → 21. L’immagine di –6 è 21.

Secondo problema:
Tra le seguenti funzioni, dire quali sono lineari e indicare i loro coefficienti.

x → x; x → 12x + 5; x → x²; x → 45,4; .

La funzione x → x è lineare; il suo coefficiente è uguale a 1.

La funzione è lineare; il suo coefficiente è uguale a .

Le altre tre funzioni non sono lineari.