Tutti i triangoli possono essere inscritti in una circonferenza il cui centro è il punto d’incontro degli assi dei lati del triangolo. Tale circonferenza si chiama “circonferenza circoscritta al triangolo”.
Che cosa succede nel caso particolare di un triangolo rettangolo?
Una proprietà del triangolo rettangolo
Se un triangolo è rettangolo, allora può essere inscritto in un cerchio avente per diametro la sua ipotenusa (figura 1).
Altre formulazioni
In un triangolo rettangolo, il punto medio dell’ipotenusa è il centro della circonferenza circoscritta.
Il punto medio dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo è equidistante dai tre vertici (figura 2).
Esempio di applicazione
Enunciato: In figura 3 abbiamo due triangoli rettangoli con un lato in comune. Il triangolo ABC rettangolo in C e il triangolo ABD rettangolo in D. Il punto I è il punto medio di [AB]. Il triangolo ICD è isoscele?
Soluzione: Il triangolo ABC è rettangolo in C. Quindi può essere inscritto nella circonferenza di diametro [AB]; il segmento [IC] è dunque un raggio di tale circonferenza. Per la stessa ragione, [ID] è ugualmente un raggio della stessa circonferenza.
Abbiamo allora che IC = ID. Il triangolo ICD è isoscele con vertice I e base [CD].
Abbiamo allora che IC = ID. Il triangolo ICD è isoscele con vertice I e base [CD].
Dimostrare che un triangolo è rettangolo
-Proprietà reciproca
Se un triangolo ABC è inscritto in un cerchio di diametro [BC], allora ABC è rettangolo in A (figura 4).
Nota: Questa proprietà è la reciproca di quella vista nella sezione 1.
Altre formulazioni:
Se la circonferenza circoscritta a un triangolo ABC ha per diametro il lato [BC], allora ABC è rettangolo in A.
Se in un triangolo ABC, il punto medio di [BC] è equidistante dai tre vertici, allora ABC è rettangolo in A.
Se la circonferenza circoscritta a un triangolo ABC ha per diametro il lato [BC], allora ABC è rettangolo in A.
Se in un triangolo ABC, il punto medio di [BC] è equidistante dai tre vertici, allora ABC è rettangolo in A.
Esempio di applicazione
Enunciato: In figura 5, ABC è un triangolo non rettangolo. La circonferenza di diametro [BC] taglia la retta (AB) in I e la retta (AC) in J.
Vogliamo dimostrare che le rette (CI) e (BJ) sono altezze del triangolo ABC.
Vogliamo dimostrare che le rette (CI) e (BJ) sono altezze del triangolo ABC.
Soluzione: Il triangolo BCI è inscritto nella circonferenza di diametro [BC]. È perciò rettangolo in I. La retta (CI) passa per il punto C ed è perpendicolare alla retta (AB); è quindi un’altezza del triangolo ABC.
Considerando il triangolo BCJ, si dimostra nello stesso modo che [BJ] è un’altezza del triangolo ABC.