Continuità delle Funzioni e Teorema dei Valori Intermedi

La nozione di continuità permette di enunciare correttamente il teorema dei valori intermedi. Quest’ultimo serve a determinare il numero di soluzioni di un’equazione del tipo f(x) = k, dove k ∈ R e dove f è una funzione continua; serve a dare un valore approssimato o una cornice di riferimento, il che è interessante soprattutto quando non si hanno soluzioni algebriche dell’equazione.

Una funzione f, definita su un intervallo aperto contenente un punto a, è continua in a se

Una funzione f, definita su un intervallo I aperto, è continua su I quando è continua in tutti i punti a appartenenti a I.

Una funzione f, definita su un intervallo [a; b], è “continua su [a; b]” quando:

In sostanza, dire che una funzione è continua su un intervallo del suo insieme di definizione equivale a dire che si può tracciare il suo grafico “senza mai alzare la matita dal foglio”. In caso contrario, cioè se la funzione presenta dei punti di discontinuità, la curva presenta uno o più “salti”.

Tutte le funzioni derivabili su un intervallo I aperto sono continue su I (e dunque definite su I).
Attenzione, però: l’affermazione reciproca è falsa. Ne è un esempio la funzione valore assoluto, che è continua su tutto R ma non è derivabile in 0 (dove presenta un “punto angoloso”).

Secondo quanto detto fin qui, tutte le funzioni derivabili su ogni intervallo del loro insieme di definizione sono continue; in particolare
le funzioni polinomiali sono continue su R;
le funzioni razionali sono continue su tutti gli intervalli del loro insieme di definzione;
la funzione radice quadrata è continua su [0; +∞[;
le funzioni coseno e seno sono continue su R.

Il teorema dei valori intermedi si enuncia così: sia f una funzione definita e continua su un intervallo I, e a e b due punti di I; per tutti i valori k compresi tra f(a) e f(b), esiste (almeno) un punto c compreso tra a e b tale che f(c) = k.

Tale teorema ha un corollario: se f è una funzione continua e strettamente monotona su un intervallo I, allora, per tutti i valori k dell’intervallo J = f(I), l’equazione f(x) = k ammette un’unica soluzione in I.

Note
Si conviene che, nella tabella delle variazioni, le frecce oblique rappresentano la continuità e la monotonia stretta della funzione sull’intervallo considerato.
Il teorema dei valori intermedi serve in particolare a determinare il numero di soluzioni di un’equazione e a dare un valore approssimato o una cornice entro cui possono rientrare le soluzioni.

Da ricordare
Una funzione f, definita su un intervallo aperto contenente un punto a, è continua in a se

Se una funzione f è derivabile su un intervallo, allora è continua sullo stesso intervallo. Attenzione, però, l’affermazione reciproca è falsa: una funzione continua non è necessariamente derivabile (esempio: funzione valore assoluto in 0).

Se f è una funzione continua e strettamente monotona su un intervallo I, allora, per tutti i valori k dell’intervallo J = f(I), l’equazione f(x) = k ammette un’unica soluzione in I.

Questo corollario del teorema dei valori intermedi è molto utile per determinare il numero di soluzioni di un’equazione del tipo f(x) = k e per dare un valore approssimato o una cornice entro cui possono rientrare le soluzioni.