Date due funzioni f e g, la composizione delle due si dice funzione composta e si indica con f o g. Applicare a un numero tale funzione composta significa applicare in successione la funzione g e poi la funzione f.
Ricordiamo qui le proprietà essenziali riguardanti l’andamento e i limiti di una funzione composta e analizziamo in particolare il caso delle funzioni logaritmiche ed esponenziali.
Indice
Che cosa significa f o g (“f composta g”)
Il simbolo “o” è il segno dell’operazione tra funzioni chiamata composizione. Per trovare l’immagine di un numero a cui è applicata la funzione composta f o g si applicano successivamente le due funzioni, cominciando da quella di destra, quindi, g. Si può scrivere l’uguaglianza: f o g(x) = f[g(x)] .
per esempio: se f e g sono due funzioni definite su R, come: f(x) = 3x – 1 e g(x) = –2x + 4, allora f o g(x) = f[g(x)] = f(-2x + 4).
Per trovare l’immagine di f del numero reale (–2x + 4), lo dobbiamo moltiplicare per 3 e poi sottrarre 1 al risultato:
f(–2x + 4) = 3 (–2x + 4) – 1;
f(–2x + 4) = –6x + 12 – 1;
f(–2x + 4) = –6x + 11.
Da cui: f o g(x) = -6 + 11.
f(–2x + 4) = 3 (–2x + 4) – 1;
f(–2x + 4) = –6x + 12 – 1;
f(–2x + 4) = –6x + 11.
Da cui: f o g(x) = -6 + 11.
Attenzione: g o f non è generalmente uguale a f o g. Nel caso dell’esempio fin qui analizzato, g o f(x) = g[f(x)] = g(3x – 1).
Si trova l’immagine di g del numero reale (3x – 1), moltiplicando tale numero per –2 e aggiungendo 4 al risultato:
g(3x – 1) = –2 (3x – 1) + 4;
g(3x – 1) = –6x + 2 + 4;
g(3x – 1) = –6x + 6;
g o f(x) = -6x + 6.
Si trova l’immagine di g del numero reale (3x – 1), moltiplicando tale numero per –2 e aggiungendo 4 al risultato:
g(3x – 1) = –2 (3x – 1) + 4;
g(3x – 1) = –6x + 2 + 4;
g(3x – 1) = –6x + 6;
g o f(x) = -6x + 6.
L’insieme di definizione della funzione composta
L’insieme di definizione di f o g è l’insieme dei numeri dell’insieme di definizione di g, che hanno la loro immagine nell’insieme di definizione di f:
Df o g = {x
Dg/g(x) Î Df} .
Df o g = {x
Dg/g(x) Î Df} .
Quindi, se f è definita in [–4; 4] con f(x) = x + 3 e se g è definita in [0; 5] con g(x) = 2x, allora Df o g si ottiene risolvendo:
-4 ≤ g(x) ≤ 4;
-4 ≤ 2x ≤ 4;
-2 ≤ x ≤ 2.
Da cui: Df o g = [0; 2].
-4 ≤ g(x) ≤ 4;
-4 ≤ 2x ≤ 4;
-2 ≤ x ≤ 2.
Da cui: Df o g = [0; 2].
Andamento di una funzione composta
L’andamento di una funzione si determina, in generale, studiando il segno della sua derivata. La derivata di una funzione composta si calcola applicando la relazione: (f o g)’ (x) = f‘[g(x)] × g‘(x).
Quindi, per derivare la funzione h definita su R come h(x) = (–2x + 1)3, si può definire g(x) = –2x + 1.
Quindi, per derivare la funzione h definita su R come h(x) = (–2x + 1)3, si può definire g(x) = –2x + 1.
La derivata prima di g è g’(x) = –2.
Poiché (g3)’ = 3g2g‘, allora h‘(x) = 3(–2x + 1)2(–2) = –6(–2x + 1)2.
Essendo la sua derivata sempre negativa, la funzione h è decrescente.
Poiché (g3)’ = 3g2g‘, allora h‘(x) = 3(–2x + 1)2(–2) = –6(–2x + 1)2.
Essendo la sua derivata sempre negativa, la funzione h è decrescente.
Più direttamente, si possono sfruttare le seguenti proprietà
-se una funzione è la composizione di due funzioni che hanno lo stesso andamento, allora sarà crescente
-se una funzione è la composizione di due funzioni che hanno andamenti opposti, allora sarà decrescente
-se una funzione è la composizione di due funzioni che hanno lo stesso andamento, allora sarà crescente
-se una funzione è la composizione di due funzioni che hanno andamenti opposti, allora sarà decrescente
Nell’esempio precedente, la funzione h è la composizione della funzione decrescente x → -2x + 1 per la funzione cubica (l’elevamento a potenza 3), crescente su R. Quindi, h sarà decrescente su R, come effettivamente già dimostrato.