Il logaritmo naturale (o neperiano) deve la sua esistenza al matematico scozzese Nepero (John Napier, 1550-1617), che cercò di semplificare i calcoli trigonometrici degli astronomi “trasformando i prodotti in somme”.
Oggi la funzione logaritmica non solo è utile per semplificare i calcoli, ma ha un ruolo importante in numerosi problemi di analisi. Il suo studio costituisce quindi un capitolo essenziale dei programmi di analisi.
Indice
Definizione
Come per la funzione esponenziale, esistono diversi modi per definire la funzione logaritmica naturale (indicata con il simbolo “ln”). Di questi, i tre principali sono:
-La funzione logaritmica naturale può essere definita a partire dalla funzione esponenziale.
Esiste infatti, per ogni numero reale a strettamente positivo, un unico valore x tale che ex = a.
Tale numero si chiama logaritmo neperiano di a e si scrive x = ln a
Esiste infatti, per ogni numero reale a strettamente positivo, un unico valore x tale che ex = a.
Tale numero si chiama logaritmo neperiano di a e si scrive x = ln a
-Essendo la funzione inversa 1/x continua su ]0; + ∞[, essa ammette delle primitive sullo stesso intervallo, cioè delle funzioni la cui derivata prima sia proprio 1/x.
La funzione logaritmica naturale è la funzione primitiva della funzione inversa, su ]0; +∞[, che assume valore 0 in x = 1.
La funzione logaritmica naturale è la funzione primitiva della funzione inversa, su ]0; +∞[, che assume valore 0 in x = 1.
-Infine, si può definire la funzione logaritmica naturale a partire dalla sua equazione funzionale caratteristica.
Le funzioni f definite su ]0; + ∞[ tali che, per tutti i reali x e y, f(xy) = f(x) + f(y), sono le funzioni k ln, dove k rappresenta una costante reale.
Le funzioni f definite su ]0; + ∞[ tali che, per tutti i reali x e y, f(xy) = f(x) + f(y), sono le funzioni k ln, dove k rappresenta una costante reale.
Proprietà analitiche
L’andamento della curva che rappresenta la funzione logaritmica naturale permette di evidenziare le seguenti proprietà
-ln x esiste se, e solo se, x è strettamente positivo;
-ln 1 = 0 e ln e = 1;
-ln x < 0 se, e solo se, 0 < x < 1;
-la funzione logaritmica naturale è strettamente crescente sull’insieme ]0; + ∞[;
-il limite di ln x per x che tende a 0 (da destra, ovvero per valori superiori) è –∞;
-il limite di ln x per x che tende a +∞ è +∞;
– la funzione ln è derivabile su ]0;+ ∞[ e la sua derivata è la funzione
;
-se u è una funzione derivabile strettamente positiva sull’intervallo I, allora la funzione ln u è derivabile su I e la sua derivata è
-ln x esiste se, e solo se, x è strettamente positivo;
-ln 1 = 0 e ln e = 1;
-ln x < 0 se, e solo se, 0 < x < 1;
-la funzione logaritmica naturale è strettamente crescente sull’insieme ]0; + ∞[;
-il limite di ln x per x che tende a 0 (da destra, ovvero per valori superiori) è –∞;
-il limite di ln x per x che tende a +∞ è +∞;
– la funzione ln è derivabile su ]0;+ ∞[ e la sua derivata è la funzione
;-se u è una funzione derivabile strettamente positiva sull’intervallo I, allora la funzione ln u è derivabile su I e la sua derivata è
Nota: In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, le curve della funzione esponenziale e della funzione logaritmica naturale sono simmetriche rispetto alla retta di equazione y = x.
Proprietà algebriche
Per tutti i numeri reali a e b strettamente positivi e per tutti i numeri razionali Z, abbiamo:
–
–
–
–
–
–
–
–
Quest’ultima formula ammette un caso particolare molto utile 
Le proprietà algebriche della funzione logaritmica giocano un ruolo essenziale nella semplificazione dei calcoli. In particolare, permettono di risolvere alcune disequazioni nelle quali l’incognita compare all’esponente.
Confronto tra modalità di crescita di alcune funzioni
In alcuni casi può essere utile mettere a confronto l’andamento di funzioni diverse in uno stesso intervallo di valori di x. In particolare, il confronto tra le modalità di crescita delle funzioni ex, xn e ln x permette di superare alcune forme di indecisione che si possono presentare nel calcolo dei limiti.
La rappresentazione grafica qui sotto mette a confronto gli andamenti di ex, xn e ln x. Le diverse modalità di crescita delle curve considerate si traducono nelle seguenti formule:
Per tutti gli interi naturali n > 0: 
Da ricordare
La funzione logaritmica naturale è la primitiva della funzione inversa e assume valore 0 in 1.
È definita su ]0; +∞[ ed è strettamente crescente su tale intervallo.
È definita su ]0; +∞[ ed è strettamente crescente su tale intervallo.
; quindi, l’asse delle ordinate è un asintoto verticale della curva che rappresenta la funzione logaritmica naturale.
Per tutti i numeri reali a e b strettamente positivi e per tutti i numeri razionali Z: 
Risulta essere importante ricordare le seguenti regole di calcolo:
all’infinito, l’esponenziale di x prevale su tutte le potenze di x e sul logaritmo naturale di x;
all’infinito, le potenze di x prevalgono sul logaritmo di x.
all’infinito, l’esponenziale di x prevale su tutte le potenze di x e sul logaritmo naturale di x;
all’infinito, le potenze di x prevalgono sul logaritmo di x.