In matematica con uguaglianza si intende sempre un’espressione algebrica formata da due elementi separati dal segno uguale, =.
L’elemento che si trova a sinistra del segno uguale viene chiamato primo membro, mentre l’elemento che si trova a destro del segno uguale si chiama secondo membro.
Per comprendere meglio quanto detto fino a questo punto proviamo a fare due esempi pratici.
3 + 5 = 9 – 1
In questo caso il primo membro è rappresentato da 3 + 5, mentre il secondo da 9 -1. Per andare a fare un discorso ancora più completo, possiamo anche dire che il valore assunto dall’uguaglianza è vero.
Il secondo esempio potrebbe essere rappresentato da questo tipo di uguaglianza
4 – 5 = 5 – 4
Anche in questo caso si ha un primo membro, rappresentato da 4 – 5, ed un secondo che si identifica con 5 – 4. A differenza di quanto visto prima, però, ora ci si trova di fronte ad una uguaglianza che assume valore falso.
Stabilito questo, adesso vediamo quali sono le proprietà delle uguaglianze. La prima è la proprietà riflessiva. Questa può essere rappresentata molto semplicemente con A = A. In sostanza significa che un’espressione matematica è sempre uguale a se stessa.
La seconda proprietà è quella simmetrica, il che significa che se A= B B = A. In questo si mette in evidenza un principio fondamentale secondo il quale i membri di un’uguaglianza possono essere scambiati senza che il suo valore subisca nessuna variazione.
Chiudiamo con la terza e ultima proprietà, ossia quella transitiva. Questa stabilisce che se A = B e B = C, allora A = C.
Concluso il discorso sulle proprietà, adesso è la volta di introdurre e aprire quello sull’uguaglianza numerica. In questo caso i due membri sono rappresentati da espressioni matematiche il cui valore è rappresentato da un numero. Questo significa che i membri sono formati da uno o più termini sommati in modo algebrico tra loro.
Anche le uguaglianze numeriche hanno delle proprietà precise. La prima stabilisce che, sommando o sottraendo uno stesso valore da entrambi i membri dell’uguaglianza, il valore di questa non cambia. La seconda proprietà, invece, considera che, moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un’uguaglianza per lo stesso valore diverso da zero, il valore dell’uguaglianza stessa non cambia.
La conseguenza di queste proprietà è che un termine può essere spostato da un membro all’altro cambiandogli di segno.
Inoltre, se il primo e il secondo membro sono costituiti da frazioni con lo stesso denominatore, il denominatore può essere eliminato.
Si parla invece di uguaglianze algebriche nel caso di uguaglianze numeriche che contengono espressioni algebriche, con variabili.
Le uguaglianze algebriche possono essere un’identità, se l’uguaglianza è vera, indipendentemente dal valore attribuito alle variabili, un’equazione, se l’uguaglianza è versa o falsa a seconda del valore attribuito alle variabili, e impossibili, se l’uguaglianza è sempre falsa, indipendentemente dal valore attribuito alle variabili.