In questa guida diamo una definizione di radice quadrata e mettiamo a disposizione alcuni esempi.
I matematici dell’antica Grecia conoscevano soltanto i numeri razionali (cioè i numeri ottenuti come quozienti di numeri interi), ma avevano trovato che un quadrato di lato 1 ha una diagonale che non è un numero razionale!
Oggi sappiamo che un quadrato di lato 1 ha una diagonale di lunghezza esattamente pari a 
. Il simbolo
. Il simbolo
, chiamato radicale, permette di scrivere certi numeri (le radici quadrate) in forma esatta e di fare calcoli con questi numeri. La notazione attuale, , è nata alla fine del XV secolo ed è dovuta al tedesco Michael Stifel.Definizione
Dato un numero positivo a, esiste un solo numero positivo il cui quadrato sia uguale ad a.
Questo numero si chiama radice quadrata di a.
Questo numero si chiama radice quadrata di a.
Esempi:
, poiché 32 = 9 e 3 è positivo.
, poiché 1,62 = 2,56 e 1,6 è positivo.In altre parole, se a è positivo, 
è l’unico numero positivo tale che 
.
è l’unico numero positivo tale che .Infatti, 
.
.Esempi di applicazione
Calcolare la lunghezza di un lato in un triangolo rettangolo
Sia RMP un triangolo rettangolo in R tale che MR = 3 m e RP = 2 m. Vogliamo calcolare la lunghezza esatta del lato MP.
Il triangolo RMP è rettangolo in R, perciò vale il teorema di Pitagora:
MP2 = MR2 + RP2; sostituendo MP2 = 32 + 22, otteniamo MP2 = 13.
MP2 = MR2 + RP2; sostituendo MP2 = 32 + 22, otteniamo MP2 = 13.
MP rappresenta una lunghezza, quindi è un numero positivo. Se ne deduce che il valore esatto di MP è 
.
.Costruire un segmento di lunghezza 
(n è un numero intero naturale)
Vogliamo costruire, ad esempio, un segmento di lunghezza 
cm.
cm.Costruiamo un triangolo ABC rettangolo in B e isoscele, tale che AB = BC = 1 cm.
L’applicazione del teorema di Pitagora genera immediatamente
cm.
L’applicazione del teorema di Pitagora genera immediatamente
cm.Costruiamo, partendo da questo segmento AC, un triangolo ACD rettangolo in A tale che AD = 1 cm.
Dal teorema di Pitagora, abbiamo: CD2 = AC2 + AD2; sostituendo i valori, abbiamo
, e infine CD2 = 3.
Dal teorema di Pitagora, abbiamo: CD2 = AC2 + AD2; sostituendo i valori, abbiamo
, e infine CD2 = 3.Nota: Ripetendo diverse volte questo procedimento, possiamo costruire un segmento di lunghezza 
, dove n rappresenta un numero intero naturale qualunque.
, dove n rappresenta un numero intero naturale qualunque.Calcolare la distanza tra due punti del piano
Ricordiamo che, se (O, x, y) è un sistema di riferimento cartesiano ortogonale e A (x, y) e B (x‘, y‘) sono due punti del piano, la distanza AB è data dalla formula: 
Esempio: Vogliamo conoscere la distanza EF tra E (1, –2) e F (3, 4). L’unita di misura è il centimetro. Cerchiamo il valore esatto.
, da cui 
, e infine 
.Il valore esatto di EF è dunque 
cm.
cm.Risolvere un’equazione di secondo grado
Vogliamo risolvere l’equazione x2 = 7. Possiamo mostrare che ammette due soluzioni: 
e 
.
Infatti, sostituendo i due valori trovati al posto di x, si ottengono due uguaglianze vere: ()2 = 7 e (- )2 = 7.
e .Infatti, sostituendo i due valori trovati al posto di x, si ottengono due uguaglianze vere: (
)2 = 7 e (- )2 = 7.