La proprietà commutativa è uno dei fondamentali principi algebrici che viene studiato e applicato in relazione alle operazioni. Per questo motivo, dunque, è necessario comprendere pienamente la sua applicazione e, soprattutto, l’utilità.
Per prima cosa, è importante chiarire che la proprietà commutativa non può essere applicata a tutte le operazioni ma ha un’effettiva funzione solamente nel caso di addizioni e moltiplicazioni. Questo dipende dalla regola stessa della commutazione secondo la quale, cambiando l’ordine degli addendi, almeno per quanto riguarda l’addizione, il risultato non cambia. Allo stesso modo, concentrandosi sulla moltiplicazione, mutando l’ordine dei fattori, il prodotto non subirà alcuna variazione.
Per comprendere nel migliore dei modi quanto detto fino a questo momento proviamo a fare due esempi pratici prendendo in considerazione i numeri 15 e 5.
Se proviamo a sommarli, questi daranno come risultato 20, 15 + 5 = 20. Stabilito questo, andiamo a cambiare l’ordine degli addendi, ossia 15 e 5, e vediamo cosa accade al risultato finale. La somma 5 + 15 non comporta un cambiamento, visto che si ha sempre 20 come elemento finale.
La stessa verifica può essere fatta con la moltiplicazione. In questo caso si va a moltiplicare 15 x 5 ottenendo il risultato di 75. Anche in questo caso il valore risulterà invariato andando a cambiare posizione ai fattori, ossia moltiplicando 5 x 15.
Da quanto stabilito fino a questo momento, è possibile dedurre anche per quale motivo la proprietà commutativa non può essere applicata alla sottrazione e alla divisione, ossia due operazioni in cui l’ordine degli elementi considerati determina il risultato finale.
Tornando all’addizione, però, è importante chiarire che gli esempi fatti fino a questo momento hanno sempre preso in considerazione dei numeri naturali. Vediamo cosa accade, invece, quando ci si trova ad applicare questa proprietà a numeri relativi o razionali. Il risultato è totalmente invariato, tanto che la commutazione può essere applicata ugualmente. Per comprendere, però, come questo procedimento avvenga, è sempre opportuno affidarsi a degli esempi. Cerchiamo di calcolare, per esempio, la somma tra – 30 e 25. In questo caso si otterrà questo tipo di risultato
(-30) + 25 = – 5
Stabilito questo, poi, vediamo cosa accade andando a cambiare l’ordine degli addendi a disposizione. Sommando 25 a – 30 si otterrà come risultato 5
25 + (-30) = – 5.
Stesso discorso vale anche per le addizioni tra frazioni. In questo caso per testare in modo pratico prendiamo come esempio
3/8 + 7/8 = 10/8 = 5/4
Se proviamo a scambiare il posto agli addendi, si potrà notare facilmente come questo non incida sul risultato finale. Ecco, dunque, che si ottiene
7/8 +3/8 = 10/8 = 5/4
Il concetto della commutatività, poi, non varia neanche nel caso in cui ci si trovi a moltiplicare numeri razionali e relativi.
Stabilito tutto questo, però, si evidenzia la necessità di rispondere a un’altra domanda fondamentale, quella relativa a cosa serve esattamente la proprietà commutativa. Questa, insieme alla proprietà associativa, viene introdotta con una certa importanza durante il percorso di studi elementare per permettere agli alunni di portare a termine i calcoli veloci, ossia quelli mentali, senza l’utilizzo della calcolatrice. Per questo motivo, dunque, possiamo tranquillamente affermare di trovarci davanti ad uno dei concetti essenziali dello studio matematico che, vista la sua relativa semplicità di applicazione e comprensione, potrebbe anche essere sottovalutato dagli alunni.
In realtà si tratta di una base fondamentale da apprendere di pari passo con la comprensione e lo svolgimento delle diverse operazioni algebriche.