Insieme con la proprietà commutativa, la proprietà associativa rappresenta una tra le conoscenze algebriche essenziali da applicare durante lo svolgimento di alcune operazioni, a partire dai primi anni delle elementari.
Stabilita la sua importanza, però, vediamo in cosa consiste effettivamente questa proprietà. Per comprendere la sua funzione bisogna partire proprio dal nome. Questo, infatti, mette in evidenza la possibilità di associare due termini all’interno di un’operazione, andando a sostituirli con il nuovo termine ottenuto senza che il risultato finale venga alterato. Detto questo, però, è necessario passare a degli esempi pratici per comprendere in che modo e su quali operazioni è possibile applicare la proprietà in questione.
Iniziamo dall’addizione prendendo in considerazione la somma di numeri naturali come 15 + 23 +22. Il risultato dell’operazione sarà 60. A questo punto, però, proviamo ad associare due dei tre addendi, sostituendoli con la loro somma. Nella pratica, dunque, dalla somma tra 15 e 23 si ottiene 38 che, a sua volta, deve essere sommato a 22. Il risultato finale non cambia, visto che corrisponde sempre a 60. Lo stesso procedimento può essere applicato andando ad associate 23 e 22, il cui risultato deve essere addizionato a 15.
15 + 23 + 22 = 60
15 + 23 = 38
38 + 22 = 60
23 + 22 = 45
45 + 15 = 60
Da quanto mostrato fino a questo punto, dunque, è facile dedurre che la proprietà associativa può essere applicata all’addizione.
Fatto questo, però, è il caso di andare a vedere che cosa accade quando si decide di agire su altre operazioni. Il passo successivo, dunque, coinvolge la sottrazione. Anche in questo caso partiamo da tre numeri natural, 55 -23 -22 = 10. Come già fatto per l’addizione, proviamo ad associare due termini tra loro per poi andare a sostituirli con il risultato uscente. Se sottraiamo 23 – 22 si ha come risultato 1. Questo, poi, sottratto a sua volta a 55 da come termine finale 54. A questo punto, dunque, è più che evidente l’impossibilità di applicare la proprietà associativa alla sottrazione, visto che questa va a mutare il risultato finale.
55 – 23 – 22 = 10
23 -22 = 1
55 – 1= 54
Lo stesso discorso può essere fatto per la divisione, visto che la posizione dei termini e l’ordine con il quale vengono calcolati determina il risultato finale.
A questo punto non rimane che osservare gli effetti della proprietà associativa sulla moltiplicazione. Partiamo sempre da tre numeri che, in questo caso, sono 3, 5, 2. Il risultato della loro moltiplicazione è 30. Partendo da questa base, poi, proviamo ad associare due termini e a sostituirli con il loro risultato. Nello specifico moltiplichiamo 5 x 2. Il risultato, ossia 10, deve poi essere moltiplicato per 3 e permette di ottenere come prodotto finale ancora una volta 30. Questo significa che la proprietà associativa può essere applicata anche alla moltiplicazione
3 x 5 x 2 = 30
5 x 2 = 10
10 x 3 = 30
Stabilito, a questo punto, le operazioni sulle quali è possibili applicare questo tipo di proprietà, specifichiamo che per potere agire in questo senso è fondamentale trovarsi davanti a delle operazioni con tre o più termini.
Per concludere, poi, non rimane che enunciare la regola fondamentale, sia per quanto riguarda l’addizione che la moltiplicazione. Nel primo caso possiamo dire che la somma di tre o più addendi non cambia se al posto di alcuni di essi si sostituisce la loro somma. Nel secondo, caso invece, il prodotto di tre o più fattori non muta se al posto di alcuni di essi si sostituisce il loro prodotto.