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Come Tradurre Problemi in Equazioni

In matematica, e nelle scienze in generale, la maggioranza dei problemi può essere risolta con l’aiuto delle equazioni. Come si fa a “mettere un problema in forma di equazione”?
Una volta che l’equazione (o le equazioni) è risolta, come si interpretano i risultati per rispondere al problema?

Scelta dell’incognita e stesura dell’equazione

La prima tappa nella stesura dell’equazione di un problema è la scelta dell’incognita. Secondo il problema, possono esserci più scelte possibili per l’incognita, quindi andrà scelta quella che ci dà l’equazione più semplice.
Problema: Due fratelli hanno 12 anni di differenza. L’età del fratello maggiore è 4 volte quella del minore. Qual è l’età di ognuno dei due fratelli?
Chiamiamo x l’età del più giovane; l’età del fratello maggiore è dunque 4x.
Traducendo il fatto che i due fratelli hanno 12 anni di differenza, otteniamo l’equazione: 4x – x = 12.
Se avessimo scelto l’età del fratello maggiore come incognita x avremmo fatto una scelta meno felice. Infatti, avremmo ottenuto l’equazione , che è più complessa della precedente.

Soluzione dell’equazione e risposta al problema

Riprendiamo il problema, dove abbiamo chiamato x l’età del fratello minore; risolviamo l’equazione ottenuta: 4x – x = 12. Essa equivale a: 3x = 12, da cui x = 4.
L’equazione è risolta. Ora dobbiamo rispondere al problema. L’età del fratello minore è 4 anni, poiché x = 4. Il fratello maggiore ha un’età pari a quattro volte quella di suo fratello: l’età del fratello maggiore è dunque 16 anni, poiché 4 x 4 = 16.
Per verificare che la soluzione trovata risponda esattamente al problema, verifichiamo se soddisfa l’enunciato, sostituendo 12 al posto di x nell’equazione: 16 – 4 = 12, che corrisponde esattamente all’enunciato, secondo cui i due fratelli differiscono in età di 12 anni. Abbiamo quindi risolto il problema.

Esempi

Primo esempio

Enunciato: Trovare tre numeri interi consecutivi la cui somma è uguale a 351.
Stesura dell’equazione: Sia x il più piccolo dei tre numeri. Gli altri due saranno x + 1 e x + 2.
Scrivendo che la somma vale 351, si ottiene l’equazione: x + (x +1) + (x + 2) = 351.
Risoluzione: L’equazione equivale a:
3x + 3 = 351
3x = 351 – 3
3x = 348
x = 116
Risposta: Il più piccolo dei tre numeri è 116; gli altri due sono, quindi, 117 e 118.
Verifichiamo la somma dei tre interi: 116 + 117 + 118 = 351.

Secondo esempio

Enunciato: Un tappeto rettangolare è tre volte più lungo che largo e la sua area è uguale a 2,43 m2. Calcolare le dimensioni del tappeto in metri.
Stesura dell’equazione: Sia x la larghezza in metri del tappeto. La sua lunghezza è perciò pari a 3x. Scrivendo che la sua area (in m2) è uguale a 2,43, otteniamo l’equazione: x x 3x = 2,43.
Risoluzione: L’equazione equivale a
3x2 = 2,43
x2= 0,81
Le soluzioni all’equazione sono:  e , ovvero 0,9 e –0,9.
Risposta: Nel nostro problema, x rappresenta una lunghezza; si tratta quindi di un numero positivo e, di conseguenza, l’unica soluzione accettabile per questo problema è 0,9. La larghezza del rettangolo è dunque uguale a 0,9 m e la sua lunghezza è uguale a 2,7 m, poiché 3 x 0,9 = 2,7. Verifichiamo il calcolo trovando l’area di rettangolo: 0,9 x 2,7 = 2,43.
Questo secondo esempio mette in evidenza che le soluzioni dell’equazione utilizzata per risolvere un problema non sono sempre tutte soluzioni del problema.

Terzo esempio

Enunciato: In un bar, un gruppo di amici ha consumato 3 caffè e 2 cioccolate per un prezzo totale di 5,10 €. Al tavolo vicino, altri clienti hanno consumato 2 caffè e 3 cioccolate, e hanno pagato 5,40 €. Calcolare il prezzo di un caffè e quello di una cioccolata.
Stesura dell’equazione: Chiamiamo x il prezzo di un caffè e y quello di una cioccolata, espressi in €. Il prezzo pagato a ogni tavolo si traduce nel seguente sistema:
Risoluzione: Risolviamo il sistema con il metodo della sottrazione, moltiplicando la prima equazione per 3 e la seconda per 2.

Sottraiamo le due equazioni membro a membro e teniamo da parte la seconda equazione. Il sistema è equivalente a
 ; ;  ; .

Risposta: Il prezzo di un caffè è uguale a 0,90 € e quello di una cioccolata è uguale a 1,20 €.

Si può verificare il risultato calcolando i prezzi pagati dai due tavoli:
Al primo tavolo: 3 x 0,90 + 2 x 1,20 = 2,70 + 2,40 = 5,10, ovvero 5,10 € pagati.
Al secondo tavolo: 2 x 0,90 + 3 x 1,20 = 1,80 + 3,60 = 5,4050, ovvero 5,40 € pagati.
Quarto esempio
Enunciato: Si desidera scavare, in un giardino, una vasca rettangolare circondata da un vialetto di 2 m di larghezza. La larghezza della vasca è di 8 m. Quale sarà la lunghezza della vasca perché la sua area sia uguale a quella del vialetto?

 

Stesura dell’equazione: Sia x la lunghezza in metri della vasca; x è un numero positivo. Il bordo esterno del vialetto descrive un rettangolo (ABCD nella figura 1). La sua larghezza è 12 m (2 + 8 + 2 = 12). Esprimiamo la sua lunghezza con l’aiuto dell’incognita x: la sua lunghezza in metri è x + 4 (2 + x + 2 = x + 4).
L’area del rettangolo grande, in m2, è: 12 (x + 4).
L’area della vasca è, in m2: 8x.
Dire che l’area del vialetto è uguale all’area della vasca è come dire che l’area del rettangolo grande è il doppio dell’area della vasca. Abbiamo quindi l’equazione: 12(x + 4) = 2 (8x).

Risoluzione: Sviluppiamo il primo membro. Otteniamo: 12x + 48 = 16x

Raggruppando le x al secondo membro (che è come sottrarre 12 a entrambi i membri) otteniamo:
48 = 16x – 12x
48 = 4x
Dividiamo entrambi i membri per 4:
12 = x

Risposta: La lunghezza della vasca deve essere di 12 m perché l’area della vasca e quella del vialetto siano uguali.
Verifichiamo che l’area della vasca è di 96 m2 (8 x 12 = 96) e che l’area del vialetto è anch’essa di 96 m2 ((12 x 16) – 96 = 96).

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