Lo sviluppo e la scomposizione in fattori, o fattorizzazione, si basano sulla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione o alla sottrazione.
La prima uguaglianza riportata qui sotto esprime la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione, la seconda uguaglianza esprime la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione:
Prima uguaglianza: k(a + b) = ka + kb
Seconda uguaglianza: k(a – b) = ka – kb
Seconda uguaglianza: k(a – b) = ka – kb
Sviluppare un’espressione algebrica
Sviluppare un’espressione algebrica significa trasformare i prodotti in somme algebriche.
Se il prodotto ha una sola coppia di parentesi
Esempio: Vogliamo sviluppare le seguenti espressioni:
A = 2(x + 1) – 4(3x – 6) = 2x + 2 – 12x + 24;
(si può terminare il calcolo eseguendo le somme tra termini simili e scrivendo: -10x + 26).
B = a(a – 7) = a2 – 7a
A = 2(x + 1) – 4(3x – 6) = 2x + 2 – 12x + 24;
(si può terminare il calcolo eseguendo le somme tra termini simili e scrivendo: -10x + 26).
B = a(a – 7) = a2 – 7a
Se il prodotto ha due coppie di parentesi
Applichiamo la proprietà distributiva doppia, ovvero: (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd,
oppure (a + b) (c – d) = ac – ad + bc – bd,
oppure (a – b) (c + d) = ac + ad – bc – bd,
o, ancora, (a – b) (c – d) = ac – ad – bc + bd.
oppure (a + b) (c – d) = ac – ad + bc – bd,
oppure (a – b) (c + d) = ac + ad – bc – bd,
o, ancora, (a – b) (c – d) = ac – ad – bc + bd.
Esempio: Vogliamo sviluppare le seguenti espressioni:
A = (2x + 5) (x – 4) = 2x2 – 8x + 5x – 20; si può ridurre l’espressione trovata e scrivere: A = 2x2 – 3x – 20.
B = (–5 + 3y)(y – 2) = –5y + 10 + 3y2 – 6y; si può ridurre l’espressione trovata e scrivere: B = 3y2 – 11y + 10.
A = (2x + 5) (x – 4) = 2x2 – 8x + 5x – 20; si può ridurre l’espressione trovata e scrivere: A = 2x2 – 3x – 20.
B = (–5 + 3y)(y – 2) = –5y + 10 + 3y2 – 6y; si può ridurre l’espressione trovata e scrivere: B = 3y2 – 11y + 10.
Alcune espressioni si possono sviluppare riconoscendo i prodotti notevoli.
Scomporre in fattori un’espressione algebrica
Scomporre in fattori o fattorizzare un’espressione algebrica significa trasformare una somma algebrica in un prodotto di fattori.
Ad esempio, quando scriviamo: ka + kb = k(a + b) o ka – kb = k(a – b), abbiamo fattorizzato le espressioni ka + kb e ka – kb.
Nei due casi, diciamo che abbiamo fatto diventare k un fattore, o meglio, che abbiamo raccolto k a fattor comune.
Il fattore comune può essere un numero, una lettera, il prodotto di un numero per una lettera o un’espressione tra parentesi. Un fattore comune può essere evidente o nascosto. Se è nascosto, occorre renderlo evidente.
Se il fattore comune è evidente
5x – 5a + 5b = 5(x – a + b); il fattore comune è 5.
x2 – 3x = x(x – 3); il fattore comune è x.
(x + 2) (4x – 5) + (x + 2) (5x + 1) = (x + 2) [(4x – 5) + (5x + 1)]; il fattore comune è (x + 2).
Possiamo ridurre l’espressione trovata e scrivere (x + 2) (9x – 4).
Possiamo ridurre l’espressione trovata e scrivere (x + 2) (9x – 4).
(3x – 4)² – (3x – 4) (2x + 7) = (3 x – 4) [(3x – 4) – (2x + 7)]; il fattore comune è (3x – 4). Possiamo ridurre l’espressione trovata e scrivere (3x – 4) (x – 11).
Se il fattore comune è nascosto
A = 10a – 8b = 2(5a – 4b)
B = (2x + 3)(4x – 3) – (4x + 6)(7x + 8)
B = (2x + 3)(4x – 3) – 2(2x + 3)(7x + 8); abbiamo evidenziato il fattore comune (2x + 3).
B = (2x + 3)[(4x – 3) – 2(7x + 8)]; possiamo ridurre l’espressione trovata e scrivere:
B = (2x + 3) (4x – 3 – 14x – 16) = (2x + 3) (-10x – 19)
B = (2x + 3) (4x – 3 – 14x – 16) = (2x + 3) (-10x – 19)
Alcune espressioni si possono scomporre in fattori utilizzando i prodotti notevoli.