Sviluppo di Espressioni con Proprietà Distributiva Doppia

Sviluppare un’espressione significa trasformare un prodotto in somma algebrica. Per farlo, si eseguono i prodotti utilizzando la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione e alla sottrazione.

Siano a, b, c e d quattro numeri. Consideriamo la seguente relazione:
(a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd

La proprietà in questione si chiama proprietà distributiva doppia.

Se a, b, c e d sono numeri positivi, la figura  illustra graficamente la formula appena scritta:

Per rendercene conto, consideriamo che a, b, c e d siano le lunghezze dei lati dei rettangoli colorati, come indicato in figura. Possiamo calcolare l’area del rettangolo grande in due modi:
i suoi due lati misurano (a + b) e (c + d); la sua area è quindi: (a + b) (c + d).

Allo stesso modo, la sua area è la somma delle aree dei quattro rettangoli piccoli, da cui la somma: ac + ad + bc + bd. Di conseguenza: (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd.

Nei tre esempi seguenti, x rappresenta un numero.

A = (2x + 3) (x + 5)
Si sviluppa: A = 2xx + 2x x 5 + 3x + 3 x 5.
Calcoliamo le moltiplicazioni e sostituiamo xx con x²: A = 2x² + 10x + 3x + 15.
Raccogliamo x: 10x + 3x (ovvero riduciamo l’espressione): A = 2x² + (10 + 3) x + 15
A = 2x² + 13x + 15

B = (2 – 3x) (2x + 4)
Si sviluppa: B = 2 x 2x + 2 x 4 + (–3x) 2x + (–3x) 4
B = 4x + 8 + (–6x²) + (–12x)
Ordinando secondo le potenze di x e riducendo l’espressione otteniamo: B = (–6x²) + (4 – 12) x + 8
Da cui: B = –6x² – 8x + 8
Ovviamente, per andare più veloci, si possono saltare alcuni passaggi; in tal caso, però, bisogna fare molta attenzione ai segni.

C = (x – 3) (3x – 2)
C = 3xx – 2x – 3 × 3x + 3 × 2
C = 3x² – 2x – 9x + 6
C = 3x²– (2 + 9) x + 6
C = 3x² – 11x + 6