In questa guida spieghiamo come semplificare un’espressione algebrica.
Riscrivere la somma algebrica A = 5x – (3 + x) nella forma A = 4x – 3 significa “ridurre” l’espressione A, cioè riscriverla in forma più semplice, dopo aver eseguito tutti i calcoli indicati. Quali sono le procedure da seguire?
Regole di calcolo
Fattorizzare una somma algebrica
Proprietà: Per fattorizzare una somma algebrica, si utilizza la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione e alla sottrazione.
Tale proprietà si enuncia in questo modo: dati tre numeri a, b e k, valgono le relazioni ka + kb = k (a + b) e ka – kb = k (a – b)
Tale proprietà si enuncia in questo modo: dati tre numeri a, b e k, valgono le relazioni ka + kb = k (a + b) e ka – kb = k (a – b)
Esempio: x rappresenta un numero. Vogliamo fattorizzare l’espressione B.
B = 13,3x – 4,28x.
Notiamo che i due termini dell’espressione hanno x come fattore comune:
B = 13,3x – 4,28x = (13,3 – 4,28) x = 9,02x
Quest’ultima è chiamata “espressione ridotta” di B.
B = 13,3x – 4,28x.
Notiamo che i due termini dell’espressione hanno x come fattore comune:
B = 13,3x – 4,28x = (13,3 – 4,28) x = 9,02x
Quest’ultima è chiamata “espressione ridotta” di B.
Eliminare le parentesi in una somma algebrica
Regola: Siano a, b, c e d quattro numeri.
a + (b – c + d) = a + b – c + d
a – (b – c + d) = a – b + c – d
a + (b – c + d) = a + b – c + d
a – (b – c + d) = a – b + c – d
In generale si può dire
-se le parentesi sono precedute dal segno +, per togliere le parentesi si conservano i segni dei termini dell’espressione in esse contenuti;
-se le parentesi sono precedute dal segno -, per togliere le parentesi si cambiano tutti i segni dei termini dell’espressione in esse contenuti.
-se le parentesi sono precedute dal segno +, per togliere le parentesi si conservano i segni dei termini dell’espressione in esse contenuti;
-se le parentesi sono precedute dal segno -, per togliere le parentesi si cambiano tutti i segni dei termini dell’espressione in esse contenuti.
Esempi di riduzione
In tutti gli esempi seguenti, x rappresenta un numero.
Primo esempio
A = 3x – (2 + 7x)
Prima si tolgono le parentesi e si raggruppano i termini in x: A = 3x – 2 – 7x = 3x – 7x – 2
Si fattorizza x in 3x – 7x : A = (3 – 7) x – 2 = –4x – 2
Quindi la forma ridotta di A è: –4x – 2.
Prima si tolgono le parentesi e si raggruppano i termini in x: A = 3x – 2 – 7x = 3x – 7x – 2
Si fattorizza x in 3x – 7x : A = (3 – 7) x – 2 = –4x – 2
Quindi la forma ridotta di A è: –4x – 2.
Secondo esempio
B = x2 – (3 –x + 5x2)
Togliamo prima le parentesi: B = x2 – 3 + x – 5x2
Raggruppiamo i termini simili (quelli in x2): B = x2– 5x2 + x – 3
Raccogliamo x2 in x2 – 5x2, che si può scrivere anche come 1x2 – 5x2:
B = (1 – 5)x2² + x – 3
Alla fine otteniamo una forma ridotta di B: –4x2 + x – 3.
Togliamo prima le parentesi: B = x2 – 3 + x – 5x2
Raggruppiamo i termini simili (quelli in x2): B = x2– 5x2 + x – 3
Raccogliamo x2 in x2 – 5x2, che si può scrivere anche come 1x2 – 5x2:
B = (1 – 5)x2² + x – 3
Alla fine otteniamo una forma ridotta di B: –4x2 + x – 3.
Terzo esempio
C = x (3 – 2x) + 5 (x – 2)
Cominciamo a sviluppare: C = 3x – 2xx + 5x – 5 x 2
Sostituiamo xx con x2 e 5 x 2 con 10 (secondo le regole di priorità), poi raggruppiamo i termini simili (quelli in x): C = 3x + 5x – 2x2 – 10
Raccogliamo x in 3x + 5x: C = (3 + 5) x – 2x2 – 10 C = 8x – 2x2 – 10
In questo modo l’espressione C è in forma ridotta; se vogliamo anche ordinarla, dobbiamo disporre i termini in ordine decrescente delle potenze di x. Otteniamo quindi la formula ridotta e ordinata di C: –2x2 + 8x – 10.
Cominciamo a sviluppare: C = 3x – 2xx + 5x – 5 x 2
Sostituiamo xx con x2 e 5 x 2 con 10 (secondo le regole di priorità), poi raggruppiamo i termini simili (quelli in x): C = 3x + 5x – 2x2 – 10
Raccogliamo x in 3x + 5x: C = (3 + 5) x – 2x2 – 10 C = 8x – 2x2 – 10
In questo modo l’espressione C è in forma ridotta; se vogliamo anche ordinarla, dobbiamo disporre i termini in ordine decrescente delle potenze di x. Otteniamo quindi la formula ridotta e ordinata di C: –2x2 + 8x – 10.
Quarto esempio
Si sviluppa la seguente espressione: 
Togliamo le parentesi
Risolviamo le moltiplicazioni dopo aver semplificato dove possibile (ad esempio, il 2 nel secondo termine): 
Raggruppiamo i termini simili (in x): 
Possiamo raccogliere x in 
: 
: Calcolando le somme all’interno delle parentesi, dopo avere portato allo stesso denominatore
Alla fine, una forma ridotta di D è
