In questa guida spieghiamo come risolvere un’equazione prodotto.
Un’equazione prodotto è un’equazione in cui il primo membro è un prodotto di fattori e il secondo membro è lo zero. La sua forma particolare permette una facile e rapida risoluzione. Si possono studiare in questo modo soltanto le equazioni a una sola incognita.
Definizione
Un’equazione a un’incognita x è chiamata equazione prodotto se è espressa nella forma A x B = 0, dove A e B sono due fattori di primo grado in x, vale a dire della forma ax + b (a e b sono numeri noti).
Esempio: L’equazione (2x + 3) (–5x + 6) = 0 è un’equazione prodotto.
Nota: Si può generalizzare questa definizione per equazioni che al primo membro presentano un numero qualsiasi di fattori. Esistono quindi equazioni prodotto del tipo: A x B x C = 0 o A x B x C x D = 0, ecc.
Qui ci limitiamo a due fattori per semplificare lo studio.
Risoluzione
La risoluzione delle equazioni prodotto si esegue sfruttando le seguenti proprietà
-se un prodotto di fattori è nullo, allora almeno uno di tali fattori è nullo
-se uno dei due fattori di un prodotto è nullo, allora il prodotto è nullo.
Da queste proprietà deduciamo che, se A x B = 0, A = 0 o B = 0 e, reciprocamente, se A = 0 o B = 0, allora A x B = 0.
Riassumendo, diremo che A x B = 0 equivale ad A = 0 o B = 0. La risoluzione dell’equazione prodotto A x B = 0 si traduce quindi nella risoluzione delle due equazioni di primo grado in x: A = 0 e B = 0.
Notiamo che a questo tipo di equazioni si possono ricondurre le equazioni di secondo grado incomplete dette “spurie”: ax2 + bx = 0.
Infatti, scomponendo in fattori, questo tipo di equazioni si possono riscrivere come prodotto di due fattori: x(ax + b) = 0.
Nelle equazioni spurie, una delle due soluzioni è sempre x = 0.
Esempi
Primo esempio. Risolviamo l’equazione (5x + 1) (2x – 4) = 0.
L’equazione (5x + 1) (2x – 4) = 0 equivale a:
5x + 1 = 0 o 2x – 4 = 0
5x = – 1 o 2x = 4
o x = 2
L’equazione ha dunque due soluzioni, 
e 2.
Secondo esempio. Risolviamo l’equazione (3x – 2)2 = 0.
L’equazione (3x – 2)2 = 0 equivale a
3x – 2 = 0 (i due fattori A e B sono identici)
3x = 2
L’equazione ha una sola soluzione, 
. In realtà, in modo più rigoroso si dice che le soluzioni sono due ma coincidenti, perché provengono da due fattori identici.
Un esempio geometrico
La figura rappresenta un quadrato CEFH di lato x. Supponiamo che x sia un numero maggiore o uguale a 5. I quadrilateri ABCD, GFED e GHBA sono dei rettangoli. Siano BC = 5 e DE = 3, e l’unità di misura del problema sia il centimetro. Per quale/i valore/i di x l’area del rettangolo GHBA è nulla?
Abbiamo: HB = x – 5 e AB = x + 3.
L’area del rettangolo GHBA è quindi: (x – 5)(x + 3). Dire che quest’area è nulla equivale a dire che (x – 5) (x + 3) = 0; siamo in presenza di un’equazione prodotto.
L’equazione (x – 5) (x + 3) = 0 equivale a
x – 5 = 0 o x + 3 = 0
x = 5 o x = – 3.
L’equazione ha dunque due soluzioni: 5 e –3. Ora, x rappresenta una lunghezza, e deve essere quindi un numero positivo; di conseguenza, l’unica soluzione al problema è 5.
Conclusione. L’area del rettangolo GHBA è nulla per x = 5, e solo per questo valore di x.