In questa guida spieghiamo come risolvere le equazioni di secondo grado incomplete.
Un’equazione di secondo grado della forma x² = a è un tipo di equazione incompleta, perché, rispetto alla forma più generale ax² + bx + c = 0, manca del termine in x e del termine noto. Più precisamente, questo tipo di equazione prende il nome di equazione di secondo grado pura.
Dato un numero a, esiste un numero x tale che x² = a? E, se esiste, è unico? La risposta a queste domande, naturalmente, dipende dal numero a.
Caso in cui a < 0
Consideriamo i due membri dell’equazione x² = a. Le regole delle potenze ci permettono di affermare che un quadrato è sempre positivo, il quadrato di un numero equivale a una doppia moltiplicazione del numero per se stesso; qualunque sia il segno, moltiplicato due volte genera sempre +.
Dunque, qualsiasi sia il valore di x, x² è positivo. Essendo a strettamente negativo, non esiste alcun numero x che verifica l’uguaglianza x² = a. In altre parole, l’equazione non ha soluzioni.
Esempio: L’equazione x² = –7 non ha soluzioni.
Caso in cui a = 0
L’equazione si scrive x² = 0. La soluzione è immediata: non esiste che un solo numero x che verifichi l’uguaglianza e, quindi, sia soluzione dell’equazione: lo 0. In altre parole, l’equazione ha un’unica soluzione: 0.
Caso in cui a > 0
L’equazione x² = a si può scrivere nella forma x² – a = 0. Utilizzando la definizione di radice quadrata: per tutti i numeri positivi vale l’uguaglianza
( 
)2 = a.
L’equazione è equivalente a: x2 – ( )2 = 0.
Utilizzando il prodotto notevole a2 – b2 = (a + b) (a – b), si trova che questa equazione è a sua volta equivalente a
(x + ) (x – ) = 0.
Si ha quindi un’equazione prodotto. Si risolve osservando che, se un prodotto di fattori è uguale a 0, allora almeno uno dei due fattori deve essere uguale a 0.
Otteniamo, quindi: x + = 0 o x – = 0, da cui x = – o x = .
Vediamo quindi che l’equazione ha due soluzioni, e 
, e che tali soluzioni sono numeri opposti.
Esempi
-L’equazione x² = 256 ha le due soluzioni, 
e –, vale a dire 16 e –16.
-L’equazione x² = 19 ha due soluzioni, 
e –.
Conclusioni
L’equazione x² = a è un’equazione di secondo grado (poiché x compare elevato alla potenza 2). Abbiamo visto che tali equazioni possono avere 0, 1 o 2 soluzioni.