In questa guida spieghiamo come risolvere le equazioni e le disequazioni prodotto di primo grado e le equazioni e le disequazioni con valori assoluti.
Indice
Equazioni o disequazioni prodotto di primo grado
Per risolvere un’equazione prodotto di primo grado, determiniamo i valori che annullano ciascuno dei due fattori del prodotto.
Quindi, (-x-3) (2x + 1) = 0 equivale a –x -3 = 0 o 2x + 1 = 0.
Risolvendo ognuna di queste due equazioni, otteniamo S = {-3; 0,5}.
Per determinare l’insieme delle soluzioni di una disequazione prodotto, si utilizza la tabella dei segni.
Esempio
Per risolvere la disequazione (-x -3) (2x + 1) ≤ 0, si studia il segno di ogni fattore.
La funzione lineare x → -x -3 è decrescente, perché il suo coefficiente angolare –1 è negativo. Prima del punto in cui si annulla x = -3, le immagini della funzione sono positive, dopo diventano negative.
La funzione x → 2x + 1 è crescente perché il suo coefficiente angolare 2 è positivo. Prima di x = -0,5, ove si annulla, le sue immagini sono negative, dopo sono positive.
Il segno del prodotto è dato dalla regola dei segni per la moltiplicazione.
Il prodotto dei fattori è negativo sugli intervalli: ]-∞; -3] e [-0,5; +∞[ .
L’insieme delle soluzioni della disequazione è l’unione di questi due intervalli.
Dunque S = ]-∞; -3] ∪ [-0,5; +∞[.
Se, invece che alla tabella dei segni, si ricorre alla rappresentazione degli intervalli sulla retta orientata, ricorda che per ogni fattore si deve utilizzare una doppia simbologia, una linea continua per l’intervallo di valori in cui il fattore assume segno positivo e una linea tratteggiata per l’intervallo in cui il fattore assume segno negativo. Anche in questo caso, l’intervallo di soluzione si determina applicando la regola dei segni.
Equazioni e disequazioni con valori assoluti
Per risolvere un’equazione in cui compaiono dei valori assoluti, occorre ricordare che due numeri opposti hanno lo stesso valore assoluto.
Per A ≥ 0, |X| = A equivale a X = A o X = -A.
Per esempio, |x – 2| = 3 equivale a x – 2 = 3 oppure a x – 2 = -3.
Deduciamo che x = 5 o x = -1. Quindi l’insieme delle soluzioni è S = {-1; 5}.
Graficamente, ciò significa cercare i due punti sulla retta orientata disposti a 3 unità di distanza dal punto di ascissa 2.
Per risolvere una disequazione in cui compaiono dei valori assoluti, distinguiamo due casi
-Per A ≥ 0, |X| ≤ A equivale a -A ≤ X ≤ A.
Per esempio, |x + 3| ≤ 2 equivale a -2 ≤ x + 3 ≤ 2. Ovvero -5 ≤ x ≤ -1. Quindi, l’insieme delle soluzioni è S = [-5; -1] .
Graficamente si cercano i punti sulla retta orientata disposti a meno di due unità dal punto di ascissa –3.
-Per A ≥ 0, |X| ≥ A equivale a X ≤ -A o a X ≥ A.
Per esempio, |x + 3| ≥ 2 equivale a x + 3 ≤ -2 o a x + 3 ≥ 2.
Da cui x ≤ -5 o x ≥ -1.
Quindi, S = ]-∞; -5] ∪ [-1; +∞[.
Graficamente si cercano i punti della retta orientata posizionati a più di due unità dal punto di ascissa -3.
Da ricordare
In un sistema di disequazioni occorre determinare i valori comuni degli insiemi di soluzioni delle due equazioni. La soluzione del sistema è, se esiste, l’intersezione di questi insiemi (indicata con il simbolo Ç).
Per risolvere un’equazione prodotto, si cercano i valori che annullano ciascun fattore. Nel caso di una disequazione, si fa riferimento alla tabella dei segni per determinare l’intervallo o l’unione di intervalli che sono soluzione.
La scrittura |x – a| si può interpretare come la distanza di un punto M d’ascissa x e un punto A di ascissa a, sulla retta orientata. Questa interpretazione permette di risolvere graficamente equazioni e disequazioni in cui compaiono valori assoluti.