In questa guida spieghiamo come risolvere le disequazioni di primo grado a un’incognita.
I metodi di risoluzione delle disequazioni assomigliano a quelli delle equazioni. Diversamente dalle equazioni, però, che la maggior parte delle volte hanno un numero finito di soluzioni, una disequazione ammette, in generale, un’infinità di soluzioni.
Vediamo come si determinano e si rappresentano le soluzioni di una disequazione di primo grado a un’incognita.
Cosa Sono le Disequazioni
Una disequazione è una disuguaglianza in cui compare una lettera chiamata incognita.
Nota: I quattro simboli delle disuguaglianze sono
≤ che si legge “minore o uguale a”;
≥ che si legge “maggiore o uguale a”;
< che si legge “strettamente minore di”; > che si legge “strettamente maggiore di”.
Esempio: 2x – 8 ≥ 3x e 7x + 2,1 < 45 sono due disequazioni nell’incognita x.
Come Risolvere le le Disequazioni
Diciamo che un numero è una soluzione di una disequazione se, sostituendo quel numero all’incognita, otteniamo una disuguaglianza vera.
Esempio: Consideriamo la disequazione 2x + 3 > 5.
2 è una soluzione? Se sostituiamo la x con il 2 nella disequazione otteniamo:
2 × 2 + 3 > 5, ovvero 7 > 5.
Questa disuguaglianza è vera, quindi 2 è una soluzione.
1 è una soluzione? Se sostituiamo la x con l’1 nella disequazione otteniamo:
2 × 1 + 3 > 5, ovvero 5 > 5.
Questa disuguaglianza è falsa, quindi 1 non è una soluzione.
Risolvere una disequazione significa trovare tutte le sue soluzioni.
Metodo
Il metodo assomiglia a quello delle equazioni di primo grado in un’incognita, ma con un’importante differenza. Ricordiamo che in una disuguaglianza si può
-sommare o sottrarre uno stesso numero da una parte e dall’altra del simbolo di disuguaglianza;
-moltiplicare o dividere per uno stesso numero diverso da zero da una parte e dall’altra del simbolo di disuguaglianza.
Attenzione, però: se questo numero è negativo, cambia il senso della disuguaglianza.
Esempi
Primo esempio. Vogliamo risolvere la disequazione 2x + 3 > 5. Essa è equivalente alle seguenti disequazioni:
2x > 5 – 3
2x > 2
x > 1 è la soluzione.
Questa disequazione, dunque, ammette infinite soluzioni, che sono tutti i numeri strettamente maggiori di 1.
Secondo esempio. Vogliamo risolvere la disequazione 4x – 1 ≥ 7x + 11. Essa è equivalente a:
4x – 7x ≥ 11 + 1
-3x ≥ 12
Notiamo il cambio di senso della disuguaglianza in seguito alla divisione di entrambi i membri per il numero negativo –3.
x ≤ -4
Le soluzioni della disequazione sono tutti i numeri minori o uguali a -4.
Rappresentazione Grafica delle Soluzioni
Riprendendo la disequazione del primo esempio, all’ultimo passaggio abbiamo x > 1. Come è stato già sottolineato, non possiamo elencare tutte le soluzioni, poiché sono infinite. È però possibile rappresentarle su una retta orientata, eliminando l’insieme di punti che non rappresentano le soluzioni. La parte restante rappresenterà quindi l’insieme delle soluzioni.
Inoltre, dobbiamo evidenziare che il valore x = 1 non è una soluzione (la disuguaglianza è “stretta”, cioè il valore estremo non è compreso).
Per esprimere questo fatto si indica una parentesi quadra orientata nel modo seguente
-se il numero è una soluzione, la parentesi deve essere orientata verso l’interno dell’insieme delle soluzioni;
-se il numero non è una soluzione, la parentesi deve essere orientata verso l’esterno dell’insieme delle soluzioni.
In alternativa, per escludere un valore all’estremo dell’insieme delle soluzioni, si può utilizzare una parentesi tonda invece che quadra.
Esempio
Per la disequazione del primo esempio (x > 1), abbiamo la seguente rappresentazione grafica
Per la disequazione del secondo esempio (x ≤ -4), abbiamo la seguente rappresentazione grafica
