In questa guida spieghiamo cosa sono i prodotti notevoli e mettiamo a disposizione degli esercizi svolti.
Siano a e b due numeri positivi. Il quadrato ABCD rappresentato in figura ha il lato di misura a + b. All’interno sono costruiti altri due quadrati di lato rispettivamente a e b, e due rettangoli uguali di lati a e b.
L’area di ABCD può essere calcolata utilizzando due metodi diversi.
Primo metodo: Calcoliamo l’area di un quadrato di lato a + b, cioè (a + b)2.
Secondo metodo: Calcoliamo l’area del quadrato di lato a, più l’area dei due rettangoli, più l’area del quadrato di lato b, ovvero a2 + ab + ab + b2.
Da questi due calcoli possiamo dedurre l’uguaglianza:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Questo è un prodotto notevole.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Questo è un prodotto notevole.
I tre prodotti notevoli
Due prodotti notevoli simili
L’uguaglianza scritta nell’introduzione rimane vera qualunque sia il segno dei numeri a e b. Per tutti i numeri a e b, abbiamo:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ;
(a –b)2 = a2 – 2ab + b2.
(a –b)2 = a2 – 2ab + b2.
Note
-A sinistra del segno di uguale si trova la forma fattorizzata, a destra la forma sviluppata.
-Le espressioni sviluppate sono uguali tranne che per il segno del termine 2ab, chiamato doppio prodotto.
-Per trovare la seconda identità a partire dalla prima, possiamo scrivere:
(a – b)2 = [a + (-b)]2, dunque (a – b)2 = a2 + 2a(-b) + (-b)2 = a2 – 2ab + b2.
-A sinistra del segno di uguale si trova la forma fattorizzata, a destra la forma sviluppata.
-Le espressioni sviluppate sono uguali tranne che per il segno del termine 2ab, chiamato doppio prodotto.
-Per trovare la seconda identità a partire dalla prima, possiamo scrivere:
(a – b)2 = [a + (-b)]2, dunque (a – b)2 = a2 + 2a(-b) + (-b)2 = a2 – 2ab + b2.
Un altro prodotto notevole
Siano a e b due numeri positivi. Togliamo da un quadrato di lato a un quadrato più piccolo di lato b.
Calcoliamo l’area della superficie restante con i due metodi.
Primo metodo: Calcoliamo la differenza tra l’area del quadrato grande e quella del quadrato piccolo, ovvero a2 – b2.
Secondo metodo: Prendiamo le parti restanti della superficie e ricomponiamole; otteniamo un rettangolo di lati a + b e a – b, rispettivamente. La sua area è uguale a: (a + b) (a – b).
Si ottiene infine: a2 – b2 = (a + b) (a – b).
Questa uguaglianza è vera qualunque sia il segno dei numeri a e b.
Applicazioni
Sviluppare con l’aiuto dei prodotti notevoli
Sia x un numero. Vogliamo sviluppare le seguenti espressioni
(2x + 3)2; (3x – 4)2 e (5x + 2) (5x – 2).
(2x + 3)2; (3x – 4)2 e (5x + 2) (5x – 2).
(2x + 3)2 = (2x)2 + 2 × 2x × 3 + 32 = 4x2 + 12x + 9
(3x – 4) 2 = (3x)2 – 2 × 3x × 4 + 4² = 9x2 – 24x + 16
(5x + 2) (5x – 2) = (5x)2 – 22 = 25x2 – 4
Fattorizzare con l’aiuto dei prodotti notevoli
Sia x un numero.
Primo esempio: Vogliamo fattorizzare le seguenti espressioni:
9x2 – 12x + 4 ; 81 – 9x2 e 16x2 + 24x + 9
9x2 – 12x + 4 ; 81 – 9x2 e 16x2 + 24x + 9
9x2 – 12x + 4 = (3x)2 – 2 × 3x × 2 + 2² = (3x – 2)2
81 – 9x2 = 92 – (3x)2 = (9 + 3x) (9 – 3x)
16x2 + 24x + 9 = (4x)2 + 2 × 4x × 3 + 3² = (4x + 3)2
Secondo esempio: Vogliamo fattorizzare l’espressione (2x + 1)2 – (5x + 3)2.
Riconosciamo un’espressione della forma a2 – b2, dove a corrisponde alla parentesi (2x + 1) e b alla parentesi (5x + 3).
Avremo dunque: (2x + 1)2 – (5x + 3)2 = [(2x + 1) + (5x + 3)] [(2x + 1) – (5x + 3)]
Completiamo il calcolo riducendo i due fattori entro parentesi quadra:(2x + 1 + 5x + 3) (2x + 1 – 5x – 3) = (7x + 4) (–3x – 2)
Calcolare a mente con l’aiuto dei prodotti notevoli
Vogliamo calcolare a mente: 532; 792 e 41 x 39.
Trasformiamo queste espressioni per poter utilizzare i prodotti notevoli. I passaggi descritti di seguito sono da effettuare a mente, esercitandosi:
532 = (50 + 3)2 = 502 + 2 x 50 x 3 + 32 = 2500 + 300 + 9 = 2809
79² = (80 – 1)2 = 802 – 2 x 80 x 1 + 12 = 6400 – 160 + 1 = 6241
41 x 39 = (40 + 1) (40 – 1) = 402 – 12 = 1600 – 1 = 1599