Riprendiamo qui le regole sulle disuguaglianze, che permettono di stabilire un ordine tra i numeri e di rappresentare intervalli. Tali regole costituiscono uno dei principali strumenti dell’analisi, il settore della matematica dedicato allo studio delle funzioni.
Gli intervalli nell’insieme dei numeri reali
Vediamo come si indicano gli intervalli nell’insieme R. Prendiamo due numeri reali a e b tali che a ≤ b.
L’intervallo chiuso [a; b] è l’insieme dei numeri reali x tali che a ≤ x ≤ b (estremi inclusi).
L’intervallo aperto ]a; b[ è l’insieme dei reali x tali che a < x < b (disuguaglianza stretta, estremi esclusi).
L’intervallo aperto ]-∞; a[ è l’insieme dei reali x tali che x < a.
L’intervallo semiaperto (o semichiuso) [a; b[ è l’insieme dei numeri reali x tali che a ≤ x < b.
Nello stesso modo possiamo definire gli intervalli ]a; b], ]-∞; a], [a; +∞[, ]a; +∞[.
L’intero insieme R dei numeri reali, sotto forma di intervallo, può essere indicato come: ]-∞; +∞[.
L’intero insieme R dei numeri reali, sotto forma di intervallo, può essere indicato come: ]-∞; +∞[.
L’intersezione di due intervalli I e J è l’intervallo costituito dai numeri che appartengono sia a I sia a J.
L’unione di due intervalli I e J è l’insieme dei numeri che appartengono a I o a J (l’“o” è inclusivo: si prendono i numeri che appartengono a I, a J o a entrambi gli intervalli). Se I e J hanno un punto in comune, allora I ∪ J è un intervallo.
L’unione di due intervalli I e J è l’insieme dei numeri che appartengono a I o a J (l’“o” è inclusivo: si prendono i numeri che appartengono a I, a J o a entrambi gli intervalli). Se I e J hanno un punto in comune, allora I ∪ J è un intervallo.
Esempio
Se I = [-1; 9] e J = ]6; 12[, allora: I Ç J = ]6; 9] e I ∪ J = [-1; 12[.
Se I = [-1; 9] e J = ]6; 12[, allora: I Ç J = ]6; 9] e I ∪ J = [-1; 12[.
Confronto tra due numeri
Dire che a è minore o uguale a b significa che la differenza b – a è positiva o nulla. Scrivere che a ≤ b è equivalente a dire che b – a ≥ 0.
Detto in altro modo, per confrontare due numeri si deve impostare una disuguaglianza e ricondurre il problema a un problema di segno positivo o negativo.
Per confrontare
-due numeri a e b: si studia il segno della loro differenza;
-due frazioni: si riducono a uno stesso denominatore e si confrontano i loro numeratori come specificato per due numeri a e b;
-due radicali: si possono confrontare i rispettivi quadrati.
-due numeri a e b: si studia il segno della loro differenza;
-due frazioni: si riducono a uno stesso denominatore e si confrontano i loro numeratori come specificato per due numeri a e b;
-due radicali: si possono confrontare i rispettivi quadrati.
Regole
-Due numeri sono dello stesso segno se, e solo se, il loro prodotto è positivo.
-In generale, se a > 1, allora: √a < a < a2 < a3.
-Se 0 < a < 1, allora: √a > a > a2 > a3.
-Dati tre numeri reali a, b e c, se a ≤ b e b ≤ c, allora a ≤ c.
-Due numeri sono dello stesso segno se, e solo se, il loro prodotto è positivo.
-In generale, se a > 1, allora: √a < a < a2 < a3.
-Se 0 < a < 1, allora: √a > a > a2 > a3.
-Dati tre numeri reali a, b e c, se a ≤ b e b ≤ c, allora a ≤ c.
Proprietà delle disuguaglianze
Vediamo ora come si può trasformare una disuguaglianza con l’aiuto delle operazioni elementari.
Qui, a, b, c e d rappresentano dei numeri reali qualsiasi.
Qui, a, b, c e d rappresentano dei numeri reali qualsiasi.
Sommare o sottrarre uno stesso numero ai due membri di una disuguaglianza non cambia l’ordine della disuguaglianza stessa. Se a ≤ b, allora a + c ≤ b + c.
Moltiplicare o dividere per uno stesso numero strettamente positivo entrambi i membri di una disuguaglianza non cambia l’ordine della disuguaglianza. Se a ≤ b e k > 0, allora ka ≤ kb.
Moltiplicare o dividere per un numero strettamente negativo cambia l’ordine e quindi cambia il senso della disuguaglianza. Se a ≤ b e k < 0, allora ka ≥ kb.
Sommare membro a membro due disuguaglianze fornisce come risultato una disuguaglianza nello stesso ordine. Se a ≤ b e c ≤ d, allora a + c ≤ b + d.
Se i numeri sono strettamente positivi, la moltiplicazione membro a membro di due disuguaglianze nello stesso senso ci porta a una disuguaglianza nello stesso senso. Se 0 < a ≤ b e 0 < c ≤ d,allora ac ≤ bd.
Il valore assoluto di un numero reale
Prendiamo un numero reale x. Questo numero può essere visto come l’ascissa di un punto M della retta dei numeri reali (retta orientata).
Per definizione, il valore assoluto di x è la distanza OM; si scrive |x| = OM.
Conseguenze:
-se x è un numero positivo, il suo valore assoluto è il numero stesso: |x| = x;
-se x è un numero negativo, il suo valore assoluto è il suo opposto: |x| = -x.
-se x è un numero positivo, il suo valore assoluto è il numero stesso: |x| = x;
-se x è un numero negativo, il suo valore assoluto è il suo opposto: |x| = -x.
Quindi, se x = 3, il valore assoluto di 3 è 3. Se x = -2, il valore assoluto di –2 è –(-2) = 2.
Sui valori assoluti abbiamo le seguenti proprietà. Siano x e y due numeri reali qualsiasi:
Per tutti i numeri reali, x ≠ 0, |x| è un numero positivo. |x| = 0 significa x = 0.
Per tutti i numeri reali, x ≠ 0, |x| è un numero positivo. |x| = 0 significa x = 0.
|x| = |-x|
|x| = |y| significa che x = y oppure x = -y.
|xy| = |x| X |y| e, per tutti i numeri y ≠ 0, 
.
.|x + y| ≤ |x| + |y| (disuguaglianza triangolare).
Calcoli con il valore assoluto
Abbiamo due numeri reali a e b, ascisse di due punti A e B della retta orientata. La distanza tra a e b, d(a, b), è la distanza AB. Questa si può indicare come AB = |b – a| = |a – b|.
Scriveremo quindi: d(a, b) = |b – a|.
Scrivere o rappresentare i valori assoluti in termini di distanze aiuta a risolvere le equazioni e le disequazioni dove compaiono dei valori assoluti.
Per esempio, abbiamo a che rappresenta un numero reale qualsiasi e r un numero reale positivo.
L’uguaglianza |x – a| = r può essere scritta:
in termini di distanza, con d(x, a) = r;
graficamente:
in termini di distanza, con d(x, a) = r;
graficamente:
con le nostre regole di calcolo, abbiamo: x – a = r oppure x – a = -r.
La disuguaglianza |x – a| ≤ r si può tradrure:
in termini di distanza, con d(x, a) ≤ r;
graficamente:
in termini di distanza, con d(x, a) ≤ r;
graficamente:
con le regole di calcolo già viste, abbiamo: r Î [a – r; a + r] , che si può scrivere anche come: a – r ≤ x ≤ a + r.
Da ricordare
Per confrontare due numeri a e b, si studia il segno della loro differenza.
Per confrontare due numeri a e b, si studia il segno della loro differenza.
Il valore assoluto di un numero positivo è il numero stesso; il valore assoluto di un numero negativo è il suo opposto.
La distanza tra due numeri reali a e b è uguale al valore assoluto della loro differenza e si scrive d(a, b) = |b – a|.