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Ordine tra i Numeri e Valore Assoluto

Riprendiamo qui le regole sulle disuguaglianze, che permettono di stabilire un ordine tra i numeri e di rappresentare intervalli. Tali regole costituiscono uno dei principali strumenti dell’analisi, il settore della matematica dedicato allo studio delle funzioni.

Indice

  • 1 Gli intervalli nell’insieme dei numeri reali
  • 2 Confronto tra due numeri
  • 3 Proprietà delle disuguaglianze
  • 4 Il valore assoluto di un numero reale
  • 5 Calcoli con il valore assoluto

Gli intervalli nell’insieme dei numeri reali

Vediamo come si indicano gli intervalli nell’insieme R. Prendiamo due numeri reali a e b tali che a ≤ b.

L’intervallo chiuso [a; b] è l’insieme dei numeri reali x tali che a ≤ x ≤ b (estremi inclusi).
L’intervallo aperto ]a; b[ è l’insieme dei reali x tali che a < x < b (disuguaglianza stretta, estremi esclusi).
L’intervallo aperto ]-∞; a[ è l’insieme dei reali x tali che x < a.
L’intervallo semiaperto (o semichiuso) [a; b[ è l’insieme dei numeri reali x tali che a ≤ x < b.

Nello stesso modo possiamo definire gli intervalli ]a; b], ]-∞; a], [a; +∞[, ]a; +∞[.
L’intero insieme R dei numeri reali, sotto forma di intervallo, può essere indicato come: ]-∞; +∞[.
L’intersezione di due intervalli I e J è l’intervallo costituito dai numeri che appartengono sia a I sia a J.
L’unione di due intervalli I e J è l’insieme dei numeri che appartengono a I o a J (l’“o” è inclusivo: si prendono i numeri che appartengono a I, a J o a entrambi gli intervalli). Se I e J hanno un punto in comune, allora I ∪ J è un intervallo.
Esempio
Se I = [-1; 9] e J = ]6; 12[, allora: I Ç J = ]6; 9] e I ∪ J = [-1; 12[.

Confronto tra due numeri

Dire che a è minore o uguale a b significa che la differenza b – a è positiva o nulla. Scrivere che a ≤ b è equivalente a dire che b – a ≥ 0.
Detto in altro modo, per confrontare due numeri si deve impostare una disuguaglianza e ricondurre il problema a un problema di segno positivo o negativo.
Per confrontare
-due numeri a e b: si studia il segno della loro differenza;
-due frazioni: si riducono a uno stesso denominatore e si confrontano i loro numeratori come specificato per due numeri a e b;
-due radicali: si possono confrontare i rispettivi quadrati.
Regole
-Due numeri sono dello stesso segno se, e solo se, il loro prodotto è positivo.
-In generale, se a > 1, allora: √a < a < a2 < a3.
-Se 0 < a < 1, allora: √a > a > a2 > a3.
-Dati tre numeri reali a, b e c, se a ≤ b e b ≤ c, allora a ≤ c.

Proprietà delle disuguaglianze

Vediamo ora come si può trasformare una disuguaglianza con l’aiuto delle operazioni elementari.
Qui, a, b, c e d rappresentano dei numeri reali qualsiasi.
Sommare o sottrarre uno stesso numero ai due membri di una disuguaglianza non cambia l’ordine della disuguaglianza stessa. Se a ≤ b, allora a + c ≤ b +  c.
Moltiplicare o dividere per uno stesso numero strettamente positivo entrambi i membri di una disuguaglianza non cambia l’ordine della disuguaglianza. Se a ≤ b e k > 0, allora ka ≤ kb.
Moltiplicare o dividere per un numero strettamente negativo cambia l’ordine e quindi cambia il senso della disuguaglianza. Se a ≤ b e k < 0, allora ka ≥ kb.
Sommare membro a membro due disuguaglianze fornisce come risultato una disuguaglianza nello stesso ordine. Se a ≤ b e c ≤ d, allora a + c ≤ b + d.
Se i numeri sono strettamente positivi, la moltiplicazione membro a membro di due disuguaglianze nello stesso senso ci porta a una disuguaglianza nello stesso senso. Se 0 < a ≤ b e 0 < c ≤ d,allora ac ≤ bd.

Il valore assoluto di un numero reale

Prendiamo un numero reale x. Questo numero può essere visto come l’ascissa di un punto M della retta dei numeri reali (retta orientata).
Per definizione, il valore assoluto di x è la distanza OM; si scrive |x| = OM.
Conseguenze:
-se x è un numero positivo, il suo valore assoluto è il numero stesso: |x| = x;
-se x è un numero negativo, il suo valore assoluto è il suo opposto: |x| = -x.
Quindi, se x = 3, il valore assoluto di 3 è 3. Se x = -2, il valore assoluto di –2 è –(-2) = 2.
Sui valori assoluti abbiamo le seguenti proprietà. Siano x e y due numeri reali qualsiasi:
Per tutti i numeri reali, x ≠ 0, |x| è un numero positivo. |x| = 0 significa x = 0.
|x| = |-x|
|x| = |y| significa che x = y oppure x = -y.
|xy| = |x| X |y| e, per tutti i numeri y ≠ 0, .
|x + y| ≤ |x| + |y| (disuguaglianza triangolare).

Calcoli con il valore assoluto

Abbiamo due numeri reali a e b, ascisse di due punti A e B della retta orientata. La distanza tra a e b, d(a, b), è la distanza AB. Questa si può indicare come AB = |b – a| = |a – b|.

Scriveremo quindi: d(a, b)  = |b – a|.

 

Scrivere o rappresentare i valori assoluti in termini di distanze aiuta a risolvere le equazioni e le disequazioni dove compaiono dei valori assoluti.

Per esempio, abbiamo a che rappresenta un numero reale qualsiasi e r un numero reale positivo.

L’uguaglianza |x – a| = r può essere scritta:
in termini di distanza, con d(x, a) = r;
graficamente:

con le nostre regole di calcolo, abbiamo: x – a = r oppure x – a = -r.

La disuguaglianza |x – a| ≤ r si può tradrure:
in termini di distanza, con d(x, a) ≤ r;
graficamente:

con le regole di calcolo già viste, abbiamo: r Î [a – r; a + r] , che si può scrivere anche come: a – r ≤ x ≤  a + r.

Da ricordare
Per confrontare due numeri a e b, si studia il segno della loro differenza.
Il valore assoluto di un numero positivo è il numero stesso; il valore assoluto di un numero negativo è il suo opposto.
La distanza tra due numeri reali a e b è uguale al valore assoluto della loro differenza e si scrive d(a, b) = |b – a|.

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