In questa guida spieghiamo cosa sono i numeri complessi.
Nel XVI secolo i matematici italiani Gerolamo Cardano (1501-1576) e Raffaele Bombelli (1526-1572), per risolvere alcuni tipi di equazioni di terzo grado, introdussero i numeri immaginari, definiti come numeri aventi il quadrato negativo.
Due secoli dopo, Eulero (1707-1783) e Jean-Baptiste d’Alembert (1717-1783) crearono i numeri complessi e fissarono la notazione attuale, in particolare quella del numero “i”, detto unità immaginaria.
Oggi i numeri complessi sono utilizzati non solo in matematica, in particolare in trigonometria e in geometria, ma anche in altre discipline, come la fisica.
Rappresentazione di un numero complesso non nullo
Un numero complesso z, non nullo, ammette tre tipi di scrittura
-una scrittura algebrica, z = x + i y, dove x e y sono due numeri reali; x è la parte reale di z, y la sua parte immaginaria e i l’unità immaginaria
-una scrittura trigonometrica, z = r(cos θ + i sen θ), dove r rappresenta il modulo di z e θ l’argomento di z;
-una scrittura esponenziale, 
dove r e θ hanno lo stesso significato precisato nel punto precedente.
Secondo i casi, si privilegia l’una o l’altra scrittura.
Passaggio da una scrittura all’altra
Dato un numero complesso scritto in forma algebrica, è possibile passare alla forma trigonometrica a quella esponenziale applicando le formule riportate qui di seguito.
Se z = x + i y, il suo modulo r è dato dalla formula 
L’argomento θ si determina successivamente calcolando:
e 
.
Siano z e z’ due numeri complessi.
Nel caso di Z = zz’, il modulo di Z è uguale al prodotto dei moduli di z e di z’ e l’argomento di Z è uguale alla somma degli argomenti di z e di z’, modulo 2 Π.
Ciò significa che: 
, dove k 
Z.
Si può scrivere, più semplicemente: 
oppure [2 Π].
Nel caso in cui 
, il modulo di Z si ottiene dividendo il modulo di z per il modulo di z’ e l’argomento di Z è uguale alla differenza degli argomenti di z e di z’, modulo 2 Π.
Equazioni nell’insieme dei numeri complessi
Vediamo come procedere nei casi più frequenti di equazioni nell’insieme C.
Nel caso di un’equazione di primo grado nella forma az + b = c, con a non nullo, i metodi di risoluzione sono uguali a quelli utilizzati in R.
Nel caso di un’equazione di secondo grado a coefficienti reali nella forma az² + bz + c = 0, dove a è un numero reale non nullo, si calcola il discriminante dell’equazione: Δ = b² – 4ac.
Se Δ = 0, l’equazione ammette come soluzione una radice doppia.
Se Δ >o, l’equazione ammette come soluzione due radici reali. In tale caso, come nel precedente, i metodi di risoluzione sono gli uguali a quelli utilizzati nell’insieme dei numeri reali R.
Se Δ < 0, l’equazione ammette due radici complesse coniugate: 
.
Nel caso di un’equazione in cui interviene 
, il coniugato di z, o il suo modulo |z|, si pone z = x + i y e si determinano separatamente parte reale x e parte immaginaria y. Quindi si determinano le nuove incognite x e y e si fa appello al teorema secondo il quale due numeri complessi sono uguali se, e solo se, hanno la stessa parte reale e la stessa parte immaginaria.
Nota: Il coniugato di z = x + iy è il numero complesso che ha la stessa parte reale x e parte immaginaria di segno opposto: in formule, = x – iy.
Numeri complessi e geometria piana
I numeri complessi trovano un’utile rappresentazione geometrica nel piano cartesiano ortogonale e in tale forma costituiscono uno strumento privilegiato per risolvere in modo semplice numerosi problemi di geometria.
Dato un numero complesso nella forma z = x+ i y, si dice immagine di z il punto M di coordinate (x; y). Si dice allora che il punto M è la rappresentazione di z.
La rappresentazione del vettore $ di estremi A e B è il numero complesso 
.
La rappresentazione del punto medio del segmento [AB] è la semisomma delle rappresentazioni dei punti A e B.
Trasformazioni geometriche e numeri complessi
Ognuna delle tre trasformazioni qui elencate ha un’espressione complessa:
La traslazione del vettore rappresentato da b ha per espressione complessa z‘ = z + b;
La rotazione di centro Ω, rappresentata dal numero complesso ω e dall’angolo θ, ha per espressione complessa: 
;
Sia k un numero reale non nullo; l’omotetia di centro, di rappresentazione e di rapporto k ha per espressione complessa: 
Da ricordare
Un numero complesso z, non nullo, ammette tre tipi di scrittura
-una scrittura algebrica: z = x + iy, dove x e y sono due numeri reali; x è la parte reale di z e y la sua parte immaginaria;
-una scrittura trigonometrica: z = r(cos θ + i sen θ), dove r rappresenta il modulo di z e l’argomento di z;
-una scrittura esponenziale: 
Due numeri complessi sono uguali se e solo se hanno la stessa parte reale e la stessa parte immaginaria.
Per moltiplicare dei numeri complessi non nulli, si moltiplicano i moduli e si sommano gli argomenti.
Essendo il piano dei complessi rapportabile a un riferimento cartesiano ortogonale, l’immagine del numero z = x + i y è il punto M di coordinate (x; y). Si dice allora che il punto M è la rappresentazione di z.
