Massimo Comune Divisore - Definizione e Guida sul Calcolo

Il massimo comune divisore, identificato anche con il simbolo MCD, rappresenta, il più grande divisore comune dei due o più numeri presi in considerazione e viene calcolato attraverso la scomposizione in fattori primi.

Per comprendere meglio quello di cui stiamo parlando, è bene andare per gradi facendosi aiutare da alcuni esempi pratici. Iniziamo proprio dalla dimostrazione della definizione appena data di massimo comune divisore prendendo in considerazione i numeri 24 e 36. Il primo passo da compiere è l’individuazione di tutti i loro divisori.

I divisori di 24 sono 1,2,3,4,6,8,12,24.
I divisori di 36 sono 1,2,3,4,6,9,12,18,36.

Completato questo passaggio, è la volta di evidenziare i divisori sono comuni a 24 e 36. Osservando i valori indicati in precedenza, si deduce che i divisori comuni sono 1,2,3,4,6,9,12.

Da questa lista, poi, si dovrà evidenziare il valore più grande, ossia 12, che diventa automaticamente il massimo comune divisore di 24 e 36.
MCD (24,36) = 12.

Fatta chiarezza sul significato di massimo comune divisore è arrivato il momento di rispondere ad un altro quesito, quello relativo a cosa serve trovare questo valore.
Fondamentalmente il massimo comune divisore è uno degli elementi fondamentali nel calcolo delle frazioni, visto che è necessario per ridurle ai minimi termini. Anche in questo caso, per comprendere meglio di cosa stiamo parlando, proviamo a fare un esempio pratico.

Vediamo quindi come ridurre ai minimi termini la seguente frazione.

$\frac{24}{36}$

Per eseguire l’operazione si deve andare a calcolare il massimo comune divisore tra il numeratore e il denominatore che, come abbiamo visto in precedenza, equivale a 12.
12 = MCD (24, 36)
Riconosciuto il massimo comune divisore, poi, è arrivato il momento di applicarlo per ridurre ai minimi termini la frazione presa in considerazione. Per portare a termine questa operazione è sufficiente dividere il numeratore e il denominatore per il massimo comune divisore.

$\frac{24}{36} = \frac{12x2}{12x3}$

Semplificando la frazione ai minimi termini attraverso il 12, dunque, si ottiene che:

$\frac{24}{36} = \frac{2}{3}$

Per ridurre ai minimi termini una frazione, bisogna quindi calcolare il massimo comune divisore tra numeratore e denominatore e dividere per questo valore i due termini della frazione.

Compresi questi passaggi piuttosto semplici, però, è fondamentale capire l’algoritmo per il massimo comune divisore. In questo caso facciamo un esempio partendo da due numeri naturali più complessi come 2160 e 2880. Per prima cosa, seguendo quanto detto fino a questo punto, bisogna procedere con la scomposizione in fattori primi.

$\begin{tabular}{r|l} 2160 & 2 \\ 1080 & 2 \\ 540 & 2 \\ 270 & 2 \\ 135 & 5 \\ 27 & 3 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & \\ \end{tabular}$

$\begin{tabular}{r|l} 2880 & 2 \\ 1440 & 2 \\ 720 & 2 \\ 270 & 2 \\ 360 & 5 \\ 180 & 2 \\ 90 & 2 \\ 45 & 5 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & \\ \end{tabular}$

Quindi otteniamo.

$\ 2160=2^4 x 3^3 x 5$

$\ 2880=2^6 x 3^2 x 5$

A questo punto bisogna individuare i fattori primi presenti in entrambe le scomposizioni, prendendo quelli caratterizzati dagli esponenti più piccoli.
Partendo da questa regola, dunque, è possibile affermare che i fattori primi comuni tra i due numeri sono 2, 3 e 5. Andando più nel dettaglio, poi, è possibile notare che nella scomposizione di 2160 il 2 ha esponente 4, il 3 ha esponente 3 e il 5 ha esponente 1. Per quanto riguarda il 2880, invece, il 2 ha esponente 6, il 3 ha esponente 3 e il 5 continua ad avere esponente 1. Evidenziati tutti questi valori e seguendo la regola, si arriva alla seguente conclusione.
MCD(210,2880)=

$\ 2^4 x 3^2 x 5 = 720$

Risulta essere quindi evidente che 720 è il massimo comune divisore dei numeri presi in considerazione.

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