In questa guida spieghiamo la risoluzione grafica di equazioni e disequazioni.
“A partire da che livello una produzione diventa redditizia?”. “Se si conoscono i valori di una grandezza in due istanti dati, come si determina un valore in un punto intermedio?”.
Questi problemi possono essere tradotti in forma di equazione o disequazione che possiamo risolvere graficamente.
Indice
Soluzione grafica di un’equazione del tipo f(x) = k
Le soluzioni di questa equazione sono le ascisse dei punti della curva y = f(x) che hanno per ordinata k, cioè i punti di intersezione tra il grafico di f e la retta y = k. Per trovarle, è sufficiente tracciare la retta di equazione y = k nello stesso piano su cui è stato tracciato il grafico di f e leggere i valori delle ascisse dei punti di intersezione. La precisione di tali valori dipende dalla precisione permessa dalla rappresentazione grafica.
A volte può capitare che la retta e la curva non abbiano alcuna intersezione. In questi casi, l’equazione non ha soluzioni.
Soluzione grafica di un’equazione del tipo f(x) = g(x)
Le soluzioni di questa equazione sono le ascisse dei punti di intersezione tra le due curve rappresentative di f e di g. È sufficiente identificare i punti sul grafico e leggere il valore approssimato delle loro ascisse con la precisione permessa dal grafico.
Se non ci sono punti d’intersezione tra le due curve, vuol dire che l’equazione non ha soluzioni.
Soluzione grafica di una disequazione del tipo f(x) ≥ g(x)
Le soluzioni di questa disequazione sono costituite dalle ascisse dei punti d’intersezione delle curve rappresentative di f e g e dalle ascisse dei punti della curva di f che sono situati sopra la curva g. Coloriamo dunque i punti della curva di f situati sopra la curva di g e leggiamo le ascisse delle soluzioni. Queste soluzioni vanno rappresentate sotto forma di intervallo o di unione di più intervalli.
Le disequazioni del tipo f(x) ≤ g(x), f(x) > g(x) e f(x) < g(x) si risolvono in modo analogo.
Per esempio, nel grafico seguente, le soluzioni della disequazione f(x) ≤ g(x) sono date dall’intervallo [-0,7; 1,4].
Approssimazione lineare
Se conosciamo i valori di una grandezza in due istanti distinti, possiamo ottenere, per interpolazione lineare, un’idea del valore di questa grandezza in un istante intermedio. Questo valore è chiamato approssimazione lineare.
Esempio:
L’esempio è basato sulla figura precedente. Cerchiamo un valore approssimato della grandezza studiata y per l’anno x = 1998. Ammettiamo che la crescita sia proporzionale, che quindi i punti estremi siano legati da un segmento. Calcoliamo ora la pendenza del segmento, che chiameremo crescita media.
L’esempio è basato sulla figura precedente. Cerchiamo un valore approssimato della grandezza studiata y per l’anno x = 1998. Ammettiamo che la crescita sia proporzionale, che quindi i punti estremi siano legati da un segmento. Calcoliamo ora la pendenza del segmento, che chiameremo crescita media.
La crescita media è il rapporto tra la crescita Δ y della grandezza y e la crescita Δ x della variabile x.
Il valore cercato è dato dalla formula:
Valore nel 1998 = valore iniziale +
(1998 – anno iniziale).
Valore nel 1998 = valore iniziale +
(1998 – anno iniziale).
Nel nostro esempio, l’anno iniziale 1995 corrisponde al valore iniziale di 80. Se applichiamo la formula, il valore ottenuto per l’anno 1998 è 116. Tale valore è l’approssimazione lineare del valore esatto.
Da ricordare
Le soluzioni dell’equazione f(x) = k sono le ascisse dei punti d’intersezione della curva che rappresenta f con la retta di equazione y = k.
Le soluzioni dell’equazione f(x) = k sono le ascisse dei punti d’intersezione della curva che rappresenta f con la retta di equazione y = k.
Le soluzioni dell’equazione f(x) = g(x) sono le ascisse dei punti d’intersezione delle curve che rappresentano f e g.
Le soluzioni della disequazione f(x) > g(x) sono le ascisse dei punti della curva che rappresenta f situati sopra alla curva che rappresenta g.