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Andamento di una Funzione

In alcuni casi è possibile ricavare l’andamento di una funzione a partire da quello di curve note di funzioni semplici, come la retta (funzione lineare), la parabola (funzione quadratica), l’iperbole (funzione inversa) o la radice quadrata (funzione radice quadrata): può capitare infatti di dover studiare funzioni che sono il risultato di una traslazione di una di queste funzioni note, o di una loro moltiplicazione per un fattore, o anche di una somma o composizione. Vediamo qualche esempio.

Determinare l’andamento di una funzione su un intervallo

Perché una funzione f sia crescente su un intervallo I bisogna che, per ogni coppia di numeri a e b di questo intervallo tali che a < b, si abbia f(a) ≤ f(b).
In pratica, perché una funzione sia crescente è sufficiente che rispetti l’ordine di variazione: f(a) e f(b) devono essere nello stesso ordine di a e b sull’intervallo I.
Se abbiamo f(a) < f(b), cioè se i due valori sono legati da una disuguaglianza stretta, si dice che f è strettamente crescente.
Perché una funzione f sia decrescente su un intervallo I, è necessario che, per ogni coppia di numeri a e b di questo intervallo tali che a < b, si abbia f(a) ≥ f(b).
In pratica, perché una funzione sia decrescente, è sufficiente che si inverta l’ordine di variazione: f(a) e f(b) devono essere in ordine inverso rispetto ad a e b sull’intervallo I.
Se abbiamo f(a) > f(b), la funzione f è strettamente decrescente.
Una funzione f è costante se, per una coppia qualsiasi di numeri a e b dell’intervallo tali che a < b, avremo f(a) = f(b).

Ovvero, una funzione è costante su un intervallo I quando tutti i numeri reali dell’intervallo hanno la stessa immagine.

Andamento delle principali funzioni di riferimento

Risulta essere importante conoscere l’andamento delle curve di alcune funzioni semplici.

L’andamento della funzione lineare, cioè della funzione x → ax + b, con a e b reali, dipende dal segno del coefficiente a.

La funzione y = x2 (funzione quadratica) è decrescente su ]-∞ 0] e crescente su [0; +∞[.

La funzione inversa y = 1/x è decrescente sui due intervalli ]-∞; 0[ e ]0; +∞[.
La funzione radice quadrata y = (x)1/2 è crescente su [0; +∞[.

 

Traslazione orizzontale. Andamento della funzione u(x + k), noto l’andamento di u

La curva C’ della funzione f : x → u(x + k) è l’immagine della curva C della funzione f : x > u(x) attraverso una traslazione, cioè uno spostamento rigido del grafico di un tratto pari a -k in direzione orizzontale.
Quindi, l’andamento di f è lo stesso di quello di u “a meno di una traslazione”; dunque, se u è crescente su un intervallo [a; b] , anche f è crescente sull’intervallo [a – k; b – k].

 

Traslazione verticale: andamento della funzione u(x) + k, noto l’andamento di u

La curva della funzione g : x → u(x) + k è l’immagine della curva C della funzione f:  x → u(x) attraverso una traslazione in direzione verticale, cioè di uno spostamento rigido del grafico di un tratto pari a k, in direzione verticale. In questo caso, le variazioni di g sono esattamente le stesse di u.

Andamento della funzione ku(x), noto l’andamento di u

Moltiplicare una funzione per un numero reale k equivale a una dilatazione o a una compressione del grafico in direzione verticale. Il fatto che si tratti di una dilatazione o di una compressione dipende dal segno di k.

Se k > 0, le funzioni u e ku hanno lo stesso andamento.

Se k < 0, le funzioni u e ku hanno andamenti opposti.

 

 

Nota:
Nel caso particolare in cui k = -1, la curva di x → ku(x) = –u(x) è la simmetrica della curva C rispetto all’asse x.

Modulo. Andamento della funzione |u(x)|, noto l’andamento di u

Quando C si trova al di sopra dell’asse x, la curva della funzione x → |u(x)| coincide con C: u e |u| hanno perciò lo stesso andamento.
Quando C si trova al di sotto dell’asse delle x, la curva della funzione x → |u(x)| è la simmetrica di C rispetto all’asse x: u e |u| hanno perciò andamenti opposti.

 

 

Andamento della somma di due funzioni monotone e di altre operazioni sulle funzioni

Siano f e g due funzioni crescenti su un intervallo I. Per due numeri a e b dell’intervallo I, tali che a < b, avremo:
f(a) < f(b) e g(a) < g(b).
Quindi, sommando membro a membro, otteniamo:
f(a) + g(a) < f(b) + g(b).
Vale a dire, per definzione di funzione somma:
(f + g)(a) < (f + g)(b).
La funzione f + g è quindi crescente.
Ugualmente si mostra che, se le due funzioni sono decrescenti, allora la funzione somma è decrescente.
Invece, non possiamo dire nulla sull’andamento della funzione f + g, se f e g non hanno lo stesso andamento.
Per quanto riguarda la funzione prodotto per uno scalare, come sopra specificato, avremo che
-se Λ > 0, Λ f e f hanno lo stesso andamento;
-se Λ < 0, Λ f e f hanno andamenti opposti.
Per altre operazioni, come la funzione differenza f – g, prodotto fg e quoziente f/g, non possiamo concludere nulla. Occorre valutare caso per caso l’andamento delle funzioni.

Andamento di una funzione composta

Siano date due funzioni:
f definita su un intervallo I a valori in un intervallo J;
g definita su J.
La funzione g o f, composta da f, seguita da g, è una funzione definita su I. Il suo andamento dipende dagli andamenti di f e g.

Se le due funzioni monotone date hanno lo stesso andamento, allora la funzione composta è crescente. Se hanno andamenti opposti, allora la funzione composta è decrescente.

Da ricordare
La funzione x → ku(x) ha lo stesso andamento di u se k > 0, e andamento opposto se k < 0.
La funzione u + v è crescente se u e v sono crescenti.

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