Andamento di una Funzione

In alcuni casi è possibile ricavare l’andamento di una funzione a partire da quello di curve note di funzioni semplici, come la retta (funzione lineare), la parabola (funzione quadratica), l’iperbole (funzione inversa) o la radice quadrata (funzione radice quadrata): può capitare infatti di dover studiare funzioni che sono il risultato di una traslazione di una di queste funzioni note, o di una loro moltiplicazione per un fattore, o anche di una somma o composizione. Vediamo qualche esempio.

Perché una funzione f sia crescente su un intervallo I bisogna che, per ogni coppia di numeri a e b di questo intervallo tali che a < b, si abbia f(a) ≤ f(b).

In pratica, perché una funzione sia crescente è sufficiente che rispetti l’ordine di variazione: f(a) e f(b) devono essere nello stesso ordine di a e b sull’intervallo I.

Se abbiamo f(a) < f(b), cioè se i due valori sono legati da una disuguaglianza stretta, si dice che f è strettamente crescente.

Perché una funzione f sia decrescente su un intervallo I, è necessario che, per ogni coppia di numeri a e b di questo intervallo tali che a < b, si abbia f(a) ≥ f(b).

In pratica, perché una funzione sia decrescente, è sufficiente che si inverta l’ordine di variazione: f(a) e f(b) devono essere in ordine inverso rispetto ad a e b sull’intervallo I.

Se abbiamo f(a) > f(b), la funzione f è strettamente decrescente.

Una funzione f è costante se, per una coppia qualsiasi di numeri a e b dell’intervallo tali che a < b, avremo f(a) = f(b).

Ovvero, una funzione è costante su un intervallo I quando tutti i numeri reali dell’intervallo hanno la stessa immagine.

Risulta essere importante conoscere l’andamento delle curve di alcune funzioni semplici.

L’andamento della funzione lineare, cioè della funzione x → ax + b, con a e b reali, dipende dal segno del coefficiente a.

La funzione y = x² (funzione quadratica) è decrescente su ]-∞ 0] e crescente su [0; +∞[.

La funzione inversa y = 1/x è decrescente sui due intervalli ]-∞; 0[ e ]0; +∞[.

La funzione radice quadrata y = (x)^1/2 è crescente su [0; +∞[.

La curva C’ della funzione f : x → u(x + k) è l’immagine della curva C della funzione f : x > u(x) attraverso una traslazione, cioè uno spostamento rigido del grafico di un tratto pari a -k in direzione orizzontale.
Quindi, l’andamento di f è lo stesso di quello di u “a meno di una traslazione”; dunque, se u è crescente su un intervallo [a; b] , anche f è crescente sull’intervallo [a – k; b – k].

La curva della funzione g : x → u(x) + k è l’immagine della curva C della funzione f:  x → u(x) attraverso una traslazione in direzione verticale, cioè di uno spostamento rigido del grafico di un tratto pari a k, in direzione verticale. In questo caso, le variazioni di g sono esattamente le stesse di u.

Moltiplicare una funzione per un numero reale k equivale a una dilatazione o a una compressione del grafico in direzione verticale. Il fatto che si tratti di una dilatazione o di una compressione dipende dal segno di k.

Se k > 0, le funzioni u e ku hanno lo stesso andamento.

Se k < 0, le funzioni u e ku hanno andamenti opposti.

Nota:
Nel caso particolare in cui k = -1, la curva di x → ku(x) = –u(x) è la simmetrica della curva C rispetto all’asse x.

Quando C si trova al di sopra dell’asse x, la curva della funzione x → |u(x)| coincide con C: u e |u| hanno perciò lo stesso andamento.

Quando C si trova al di sotto dell’asse delle x, la curva della funzione x → |u(x)| è la simmetrica di C rispetto all’asse x: u e |u| hanno perciò andamenti opposti.

Siano f e g due funzioni crescenti su un intervallo I. Per due numeri a e b dell’intervallo I, tali che a < b, avremo:
f(a) < f(b) e g(a) < g(b).
Quindi, sommando membro a membro, otteniamo:
f(a) + g(a) < f(b) + g(b).
Vale a dire, per definzione di funzione somma:
(f + g)(a) < (f + g)(b).
La funzione f + g è quindi crescente.

Ugualmente si mostra che, se le due funzioni sono decrescenti, allora la funzione somma è decrescente.

Invece, non possiamo dire nulla sull’andamento della funzione f + g, se f e g non hanno lo stesso andamento.

Per quanto riguarda la funzione prodotto per uno scalare, come sopra specificato, avremo che
-se Λ > 0, Λ f e f hanno lo stesso andamento;
-se Λ < 0, Λ f e f hanno andamenti opposti.

Per altre operazioni, come la funzione differenza f – g, prodotto fg e quoziente f/g, non possiamo concludere nulla. Occorre valutare caso per caso l’andamento delle funzioni.

Siano date due funzioni:
f definita su un intervallo I a valori in un intervallo J;
g definita su J.

La funzione g o f, composta da f, seguita da g, è una funzione definita su I. Il suo andamento dipende dagli andamenti di f e g.

Se le due funzioni monotone date hanno lo stesso andamento, allora la funzione composta è crescente. Se hanno andamenti opposti, allora la funzione composta è decrescente.

La funzione x → ku(x) ha lo stesso andamento di u se k > 0, e andamento opposto se k < 0.

La funzione u + v è crescente se u e v sono crescenti.