Angoli alla Circonferenza e Angoli al Centro

Immaginiamo la seguente esperienza: posizioniamo tre punti A, M e B su una circonferenza di centro O, poi misuriamo l’angolo AÔB. Successivamente, facciamo variare la posizione del punto M e lasciamo fissi i punti A e B.

Si ha l’impressione che la misura dell’ampiezza dell’angolo  sia sempre uguale alla metà di quella dell’angolo AÔB. È veramente così?

In figura 1, siano A e B due punti non coincidenti di una circonferenza di centro O. L’angolo AÔB è chiamato angolo al centro. Si dice anche che tale angolo è costruito (o “insiste”) sull’arco AB.

Nota: I punti A e B definiscono due angoli al centro: un angolo al centro AÔB convesso che insiste sull’arco minore AB e un angolo al centro AÔB concavo che insiste sull’arco maggiore. In generale, si considera l’angolo convesso.

Siano ora A, B e M ancora una volta tre punti distinti di una circonferenza (figura 2). L’angolo  è chiamato “angolo inscritto nella circonferenza” o angolo alla circonferenza. Diciamo che questo angolo “insiste” sull’arco AB.

Proprietà: L’angolo alla circonferenza è sempre di ampiezza pari alla metà dell’ampiezza dell’angolo al centro che insiste sullo stesso arco.

Esempio: In figura 3, l’angolo inscritto e l’angolo al centro AÔB insistono sullo stesso arco AB; ne deduciamo che .

Proprietà: Due angoli alla circonferenza (di una stessa circonferenza) che insistono sullo stesso arco hanno la stessa ampiezza.

Esempio: In figura 4, gli angoli inscritti e insistono sullo stesso arco AB. Se ne deduce che .

Dimostriamo questa proprietà: chiamiamo O il centro della circonferenza.
L’angolo alla circonferenza  e l’angolo alla circonferenza AÔB insistono sullo stesso arco AB.
Dalla proprietà precedente abbiamo che .

Ugualmente, l’angolo inscritto  e l’angolo al centro AÔB insistono sullo stesso arco AB.
Dalla proprietà precedente abbiamo che .

Da queste due uguaglianze, possiamo dedurre il risultato cercato: .

Enunciato: Consideriamo la stella regolare a cinque punte ABCDE rappresentata in figura 5, che abbiamo costruito partendo dai vertici del pentagono regolare ABCDE. Vogliamo calcolare l’ampiezza dell’angolo DÂC.

Risoluzione: Sappiamo che un pentagono regolare può essere inscritto in una circonferenza e chiamiamo O il centro di questa circonferenza.
Consideriamo l’angolo al centro CÔD e l’angolo alla circonferenza CÂD: essi insistono sul medesimo arco CD, da cui si deduce che .

L’angolo al centro di un pentagono regolare è uguale a .
Quindi e, di conseguenza, , da cui .

Andiamo a dimostrare ora una proprietà dei triangoli: un triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo.

Enunciato: Prendiamo una circonferenza di centro O e di diametro [BC], e un punto A diverso da B e da C (figura 6). Vogliamo dimostrare che il triangolo ABC, che possiamo definire inscritto in una semicirconferenza, è rettangolo in A.

Soluzione: Consideriamo l’angolo al centro BÔC e il corrispondente angolo alla circonferenza: essi insistono sullo stesso arco BC.

Se ne deduce che .

Poiché l’angolo BÔC è piatto ([BC] è un diametro del cerchio di centro O), avremo che .
Se ne deduce che : il triangolo ABC è quindi rettangolo in A.