Reciproco del Teorema di Talete

Il teorema di Talete può essere enunciato nel seguente modo: se due rette sono parallele (ipotesi), il rapporto tra le misure di certi segmenti presi sulle rette sono uguali (conclusioni).

Il reciproco del teorema si enuncia così: se il rapporto tra le misure di certi segmenti presi su due rette sono uguali (ipotesi), le due rette sono parallele (conclusioni).

Che cosa possiamo dimostrare con l’aiuto del reciproco del teorema di Talete?

Siano d e d’ due rette che si incontrano in A. Supponiamo che B e M siano due punti di d distinti da A, e che C e N siano due punti di d’ distinti da A.

Se i punti A, M, B sono allineati nello stesso ordine dei punti A, N, C e se , allora le rette (BC) ed (MN) sono parallele.

Solo due rapporti uguali intervengono nelle ipotesi del reciproco del teorema di Talete: sono i rapporti delle lunghezze dei segmenti costruiti sulle due rette secanti.

L’allineamento dei punti è molto importante. Possiamo verificarlo con un controesempio illustrato nella figura 1. L’unità di lunghezza è il centimetro; abbiamo: AM = 1, AB = 3, AN = 2 e AC = 6.

Avremo quindi e , da cui .

I punti della retta d sono allineati nell’ordine A, M, B, mentre i punti della retta d’ sono allineati nell’ordine N, A, C al posto di A, N, C. Quindi è verificata l’ipotesi dell’uguaglianza dei rapporti, ma non quella dell’ordine dei punti, e infatti constatiamo che le rette (BC) ed (MN) non sono parallele.

Il reciproco del teorema di Talete si applica in entrambe le situazioni di Talete. Di seguito vediamo un esempio per ciascuna delle due situazioni.

Enunciato: In figura 2, dove l’unità di lunghezza è il centimetro, abbiamo EP = 2; ER = 6,4; EG = 3 e EH = 9,6. Vogliamo dimostrare che le rette (PG) ed (RH) sono parallele.

Risoluzione: I punti E, P, R sono allineati nello stesso ordine dei punti E, G, H. Confrontiamo i rapporti ed .

e . Avremo dunque .

Applicando il reciproco del teorema di Talete, deduciamo che le rette (PG) ed (RH) sono parallele.

Enunciato: Nella figura 3, dove l’unità di lunghezza è il centimetro, abbiamo IJ = 3; IL = 3,6; IM = 8,4 e IK = 7.

Vogliamo dimostrare che le rette (JL) ed (MK) sono parallele.

Risoluzione: I punti M, I, L sono allineati nello stesso ordine dei punti K, I, J. Confrontiamo i rapporti e .

e . Avremo dunque .

Applicando il reciproco del teorema di Talete, deduciamo che le rette (JL) ed (MK) sono parallele.