Il cilindro è un solido di rotazione. Ciò significa che, idealmente, lo si può ottenere dalla rotazione di una figura piana intorno a uno dei suoi lati. In particolare, il cilindro retto si ottiene dalla rotazione di un rettangolo intorno a uno dei suoi lati.
Il cilindro retto ha per basi due cerchi uguali e paralleli, e per superficie laterale un rettangolo. Lo vediamo bene se costruiamo il cilindro con un foglio di cartoncino: si disegna il suo sviluppo sul foglio, poi lo si taglia e lo si piega.
Qual è il metodo per costruire lo sviluppo del cilindro e come si fa a calcolare l’area della superficie totale del cilindro?
Indice
Costruiamo lo sviluppo di un cilindro di rotazione
Vogliamo costruire lo sviluppo del cilindro di rotazione rappresentato in figura 1.
Le basi del cilindro sono due dischi di 1,5 cm di raggio ciascuno. Lo sviluppo della superficie laterale è rettangolare; i due lati del rettangolo sono uguali, rispettivamente, all’altezza del cilindro (3 cm) e alla circonferenza dei dischi di base.
Per calcolare questo perimetro, cioè la lunghezza della circonferenza, applichiamo la formula P = 2 × Π × R,
dove P, Π e R sono rispettivamente il perimetro, il numero pi greco (circa 3,14) e il raggio.
Otteniamo che P = 2 × 3,14 × 1,5 = 9,42.
La lunghezza della circonferenza di base è dunque uguale a circa 9,4 cm.
dove P, Π e R sono rispettivamente il perimetro, il numero pi greco (circa 3,14) e il raggio.
Otteniamo che P = 2 × 3,14 × 1,5 = 9,42.
La lunghezza della circonferenza di base è dunque uguale a circa 9,4 cm.
Nelle figure 2 e 3 possiamo vedere lo sviluppo di un cilindro e i passaggi per il montaggio.
Calcoliamo l’area laterale di un cilindro di rotazione
Lo sviluppo della superficie laterale di un cilindro è una superficie rettangolare. L’area laterale di un cilindro è uguale all’area di questa superficie rettangolare.
-Esempio
Consideriamo il cilindro di rotazione della figura 1 e uno dei suoi sviluppi. L’area laterale del cilindro è uguale all’area del rettangolo sviluppato. Questo rettangolo misura 3 cm di larghezza e 3 Π cm di lunghezza (2 × Π × 1,5 = 3 Π).
La sua area sarà quindi uguale a 3 × 3 Π cm2, cioè 9 Π cm2, ovvero circa 28,27 cm².
La sua area sarà quindi uguale a 3 × 3 Π cm2, cioè 9 Π cm2, ovvero circa 28,27 cm².
-Caso generale
L’area laterale A di un cilindro di rotazione di altezza h e di raggio R è dato dalla formula:
A = 2 × Π× R × h ;
A = P × h (P indica il perimetro di una base).
A = 2 × Π× R × h ;
A = P × h (P indica il perimetro di una base).
Per applicare questa formula, A, R, h e P devono essere espressi nell’unità di misura corrispondente; ad esempio, A in cm², R in cm, h in cm e P in cm.
Nota: La formula A = P × h si applica anche al calcolo della superficie laterale di un prisma retto.
Calcoliamo l’area totale di un cilindro di rotazione
L’area totale S di un cilindro di rotazione è data dalla somma dell’area laterale A e dell’area delle due basi B. Poiché l’area di una base è
B = Π R2, avremo:
S = A + 2B = 2 Π R h + 2 Π R2 = 2 Π R (h + R)
B = Π R2, avremo:
S = A + 2B = 2 Π R h + 2 Π R2 = 2 Π R (h + R)