Calcolo Vettoriale nel Piano Cartesiano

Nell’insieme dei numeri reali possiamo sempre associare a ogni punto di una retta orientata un numero chiamato ascissa (x).

Analogamente, nel piano possiamo stabilire un sistema di riferimento cartesiano (O, x, y) e associare a ogni suo punto due numeri che rappresentano le coordinate del punto stesso (x, y).

In un piano munito di un sistema di riferimento come questo è anche possibile eseguire calcoli vettoriali: calcolare le coordinate di un vettore ed effettuare diverse tipologie di calcolo per risolvere problemi geometrici. Vediamo come.

Prendiamo un piano in cui sia definita un’unità di lunghezza. Un vettore  è caratterizzato da tre informazioni
la sua direzione: ovvero la retta (AB)
il suo verso: da A verso B
il suo modulo: la distanza AB.

Il vettore è uguale al vettore se i due vettori hanno
la stessa direzione, vale a dire se (AB) // (CD);
lo stesso verso, vale a dire se i punti B e D sono dallo stesso lato del piano rispetto alla retta (AC);
lo stesso modulo, vale a dire AB = CD.

In altre parole:  se, e solo se, ABDC è un parallelogramma.

O ancora:
 se, e solo se, l’immagine di C, attraverso la stessa traslazione che trasforma A in B, è D.
 se e solo se [AD] e [BC] hanno lo stesso punto medio.

La somma di due vettori è un vettore che si può costruire in due modi:
Utilizzando la relazione di Chasles: partendo da un punto A, si tracciano in sequenza i due vettori addendi, facendo partire la coda del secondo dalla punta del primo:

Con la regola del parallelogramma, cioè considerando i due vettori addendi come i lati di un parallelogramma, la cui diagonale maggiore rappresenta il vettore somma: .

Nota: La relazione di Chasles serve anche per scomporre un vettore nella somma di vettori. Se A e B sono due punti dati, allora, per qualsiasi punto C, abbiamo:

Definiamo, di seguito, la moltiplicazione di un vettore per un numero reale.
Sia  un vettore non nullo e k un numero reale non nullo. Il vettore  ha le seguenti caratteristiche:
ha la stessa direzione di
ha lo stesso verso di  se k è positivo, ha verso opposto se k è negativo.

I vettori che hanno la stessa direzione si chiamano vettori colineari. I vettori e  sono colineari se, e solo se, esiste un numero reale k tale che .

In un piano munito di un sistema di riferimento (O, x, y), a ogni vettore è associato un unico punto M tale che ; il punto M è l’immagine dell’origine O attraverso la traslazione rispetto al vettore .

Per definizione, le coordinate di  sono quelle di M: se M ha per coordinate (x;y), il vettore  ha per coordinate (x;y) e si scrive . Per esempio, nell’illustrazione qui di seguito abbiamo:  (3; 4).

Ne consegue che due vettori  (x;y) e  (x’;y’) sono uguali se, e solo se, hanno le stesse coordinate: x = x’ e y = y’.

È semplice calcolare le coordinate di un vettore  qualsiasi a partire dalle coordinate dei punti A e B.
In un sistema di riferimento del piano, sia A un punto di coordinate (x_A; y_A) e B un punto di coordinate (x_B; y_B), allora il vettore  ha per coordinate (x_B ;- x_A; y_B – y_A).

Siano e due vettori di coordinate  (x; y) e  (x’; y’), allora:
la somma dei due vettori  (x; y) e  (x’; y’) è un vettore +   che ha per coordinate (x + x’ ; y + y’);
il prodotto  (x; y) per un reale k è un vettore  che ha per coordinate (kx ; ky).

Prendiamo due vettori di coordinate  (x; y) e  (x’; y’).
La colinearità dei due vettori e  si traduce in due uguaglianze:
 se e solo se x’ = kx e y’ = ky.
Inoltre, e più semplicemente, la colinearità si traduce in un rapporto di proporzionalità detto “prodotto in croce”:
e  sono colineari se, e solo se, xy’ = x’y.
Per esempio, i vettori e  sono colineari poiché 3 × 5 = (-2) × (-7,5) = 15

Se A e B sono due punti di coordinate rispettivamente (x_A ; y_A) e (x_B ; y_B), allora abbiamo: .

Da ricordare

Un vettore  è caratterizzato da tre dati: direzione, verso e modulo.

La somma di due vettori  (x; y)e  (x’; y’) è un vettore +   che ha per coordinate (x + x’; y + y’).

Il prodotto di un vettore  (x; y) per un numero reale k è un vettore  che ha per coordinate (kx; ky).

I vettori  (x; y) e (x’; y’) sono colineari se, e solo se, xy’ = x’y.