In questa guida spieghiamo come calcolare il volume di piramide e cono.
Il volume di un prisma retto e quello di un cilindro di rotazione si calcolano con la stessa formula: V = B × h (dove B è l’area della base e h è l’altezza). D’altra parte, il cilindro si può considerare come una sorta di prisma con base circolare.
Scopriremo qui che anche la piramide e il cono hanno la stessa “parentela”: il volume di una piramide e quello di un cono si calcolano con la stessa formula: vediamo quale.
Calcoliamo il volume di una piramide
Formula

In figura 1 abbiamo una piramide di altezza h e base di area B. Il suo volume V è dato dalla formula:
.

In questa formula, V, B e h sono espressi nelle unità di misura corrispondenti; ad esempio: h in cm, B in cm2 e V in cm3.
Nota: Una piramide ha per volume un terzo del volume di un prisma retto costruito sulla sua base e avente la stessa altezza.
Esempio
Enunciato: Calcoliamo il volume di una piramide regolare (vedi figura 2) la cui base è un quadrato di lato pari a 7 m e i cui spigoli misurano 8 m.
Soluzione: Per poter applicare la formula
, dobbiamo prima calcolare l’area B della base, che è un quadrato.
Abbiamo: B = 72 = 49; dobbiamo poi calcolare l’altezza SH della piramide.

Abbiamo: B = 72 = 49; dobbiamo poi calcolare l’altezza SH della piramide.

Per fare ciò bisogna prima conoscere AH2. AH è la metà della diagonale di un quadrato di lato uguale a 7 m. Nel quadrato ABCD, AH = BH. Per il teorema di Pitagora, AH2 + BH2 = AB2, che dà: 2AH2 = 72, ovvero
.

Il triangolo SAH è rettangolo in H quindi, sempre per il teorema di Pitagora, SH2 + HA2 = SA2, da cui otteniamo: SH2 + 24,5 = 82, SH2 = 64 – 24,5 = 39,5. Dunque
.

Applicando la formula otteniamo:
. Il volume della piramide è all’incirca uguale a 103 m3.

Calcoliamo il volume di un cono
Formula

In figura 3 abbiamo un cono di altezza h, con la base di area uguale a B. Il suo volume V è dato dalla formula:
.

In questa formula, V, B e h sono espressi nelle unità di misura corrispondenti; ad esempio: h in cm, B in cm2 e V in cm3.
Nota:
Un cono ha il volume uguale a un terzo del volume del cilindro costruito sulla stessa base e avente la stessa altezza; se r è il raggio della base, avremo .
Esempi
Primo enunciato: Calcoliamo il volume di un cono la cui base è un disco di raggio 4 cm e la cui altezza è di 7 cm.
Soluzione: Applichiamo la formula
.
Abbiamo
.
Il volume di questo cono è uguale a circa 117 cm3.

Abbiamo

Il volume di questo cono è uguale a circa 117 cm3.
Secondo enunciato: Facciamo ruotare attorno a un lato dell’angolo retto una squadra piena, i cui lati misurano rispettivamente 6 cm e 8 cm. Girando, la squadra genera un cono di rotazione. A seconda del cateto scelto, si possono ottenere due coni; quale dei due avrà il volume maggiore?
Soluzione: Il primo cono ha per base un disco di raggio 6 cm e ha altezza di 8 cm.
Il suo volume, in cm3, è:
.
Il suo volume, in cm3, è:

Il secondo cono ha per base un disco di raggio 8 cm e ha altezza di 6 cm.
Il suo volume, in cm3, è:
.
Quindi, il cono con il volume maggiore è il secondo.
Il suo volume, in cm3, è:

Quindi, il cono con il volume maggiore è il secondo.