Come Calcolare il Volume di Piramide e Cono

Il volume di un prisma retto e quello di un cilindro di rotazione si calcolano con la stessa formula: V = B × h (dove B è l’area della base e h è l’altezza). D’altra parte, il cilindro si può considerare come una sorta di prisma con base circolare.

Scopriremo qui che anche la piramide e il cono hanno la stessa “parentela”: il volume di una piramide e quello di un cono si calcolano con la stessa formula: vediamo quale.

In figura 1 abbiamo una piramide di altezza h e base di area B. Il suo volume V è dato dalla formula: .

In questa formula, V, B e h sono espressi nelle unità di misura corrispondenti; ad esempio: h in cm, B in cm² e V in cm³.

Nota: Una piramide ha per volume un terzo del volume di un prisma retto costruito sulla sua base e avente la stessa altezza.

Enunciato: Calcoliamo il volume di una piramide regolare (vedi figura 2) la cui base è un quadrato di lato pari a 7 m e i cui spigoli misurano 8 m.

Soluzione: Per poter applicare la formula , dobbiamo prima calcolare l’area B della base, che è un quadrato.
Abbiamo: B = 7² = 49; dobbiamo poi calcolare l’altezza SH della piramide.

Per fare ciò bisogna prima conoscere AH². AH è la metà della diagonale di un quadrato di lato uguale a 7 m. Nel quadrato ABCD, AH = BH. Per il teorema di Pitagora, AH² + BH² = AB², che dà: 2AH² = 7², ovvero .

Il triangolo SAH è rettangolo in H quindi, sempre per il teorema di Pitagora, SH² + HA² = SA², da cui otteniamo: SH² + 24,5 = 8², SH² = 64 – 24,5 = 39,5. Dunque .

Applicando la formula otteniamo: . Il volume della piramide è all’incirca uguale a 103 m³.

In figura 3 abbiamo un cono di altezza h, con la base di area uguale a B. Il suo volume V è dato dalla formula: .

In questa formula, V, B e h sono espressi nelle unità di misura corrispondenti; ad esempio: h in cm, B in cm² e V in cm³.

Nota:

Un cono ha il volume uguale a un terzo del volume del cilindro costruito sulla stessa base e avente la stessa altezza; se r è il raggio della base, avremo .

Primo enunciato: Calcoliamo il volume di un cono la cui base è un disco di raggio 4 cm e la cui altezza è di 7 cm.

Soluzione: Applichiamo la formula .
Abbiamo .
Il volume di questo cono è uguale a circa 117 cm³.

Secondo enunciato: Facciamo ruotare attorno a un lato dell’angolo retto una squadra piena, i cui lati misurano rispettivamente 6 cm e 8 cm. Girando, la squadra genera un cono di rotazione. A seconda del cateto scelto, si possono ottenere due coni; quale dei due avrà il volume maggiore?

Soluzione: Il primo cono ha per base un disco di raggio 6 cm e ha altezza di 8 cm.
Il suo volume, in cm³, è: .

Il secondo cono ha per base un disco di raggio 8 cm e ha altezza di 6 cm.
Il suo volume, in cm³, è: .
Quindi, il cono con il volume maggiore è il secondo.